«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон одного многоугольника равно произведению…
При каких натуральных $n \ge 2$ неравенство $$ x_1^2 + x_2^2 \ldots + x_n^2 \ge p(x_1x_2 + x_2x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n) $$ выполняется для любых действительных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, если
На плоскости даны три точки $K$, $L$, $N$. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$, $L$, $N$. Найдите множества точек, в которые может…
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон одного многоугольника равно…
Окружность разбита точками $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, на $n$ равных частей, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги (с концами в точках разбиения) называются одинаково окрашенными, если при некотором повороте…
Обруч радиуса $R$, висевший на неподвижном круге радиуса $r < R$, начинают катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиуса $R - r$, катящегося снаружи по тому же кругу радиуса…
Какое наибольшее число:
можно расставить на шахматной доске $8 \times 8$ так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?
Даны два числа $p$ и $q$, большие 1. На сторонах $BC$ и $DC$ прямоугольника $ABCD$ берутся точки $P$ и $Q$ так, что $|BC| = p \cdot |BP|$ и $|DC| = q \cdot |DQ|$. При каком отношении длин сторон…
В городе одна синяя площадь и $n$ зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными (рис. 3). На каждой из $2n$ улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно приехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой…