«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Озеро имеет форму невыпуклого $n$-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого $m$-угольника, где $m\le n$.
Последовательность натуральных чисел $$ a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots\lt a_n\lt\ldots\tag{A} $$ такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность (A), либо представляется в виде суммы двух чисел из последовательности (A), быть может, одинаковых.
Докажите, что $a_n\le n^2$ для всех…
Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на все четыре стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности.
На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость (рис. 1), записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева, — равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху…
На окружности расположено множество $F$ точек, состоящее из 100 дуг. Известно, что при любом повороте $R$ окружности множество $R(F)$ имеет общую точку с $F$. (Другими словами, для любого $\alpha$ от $0^\circ$ до…
Докажите, что в любой арифметической прогрессии $a$, $a+d$, $a+2d$, $\ldots$, $a+nd$, $\ldots$, составленной из натуральных чисел, найдётся бесконечно много членов, в разложение которых на простые множители входят в точности одни…
В правильной усечённой пирамиде (рис. 1) точка $K$ — середина некоторой стороны $AB$ верхнего основания, $L$ — середина некоторой стороны $CD$ нижнего основания. Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на…
Пусть $k\lt n$ — натуральные числа. Расставьте числа 1, 2, 3, $\ldots$, $n^2$ в таблицу $n\times n$ так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м столбце была