«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на все четыре стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности.
На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость (рис. 1), записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева, — равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и…
На окружности расположено множество $F$ точек, состоящее из 100 дуг. Известно, что при любом повороте $R$ окружности множество $R(F)$ имеет общую точку с $F$. (Другими словами, для любого $\alpha$ от $0^\circ$ до…
Докажите, что в любой арифметической прогрессии $a$, $a+d$, $a+2d$, $\ldots$, $a+nd$, $\ldots$, составленной из натуральных чисел, найдётся бесконечно много членов, в разложение которых на простые множители входят в точности одни…
В правильной усечённой пирамиде (рис. 1) точка $K$ — середина некоторой стороны $AB$ верхнего основания, $L$ — середина некоторой стороны $CD$ нижнего основания.
Докажите, что проекции отрезков $AB$ и…
Пусть $k\lt n$ — натуральные числа. Расставьте числа 1, 2, 3, $\ldots$, $n^2$ в таблицу $n\times n$ так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м столбце была
На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи только линейки построить отрезок длины $\sqrt{7}$.
Докажите, что при любом простом $p$ число $$ \underbrace{11 \ldots 1}_{p}\underbrace{22 \ldots 2}_{p}\underbrace{33 \ldots 3}_{p} \ldots \underbrace{99 \ldots 9}_{p} - 123456789 $$ делится на $p$.