«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Три числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют условиям $x+y+z=0$, $xyz=2$. Найдите максимум величины $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$.
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
На доске написано $n$ выражений вида $*x^2+*x+*=0$ ($n$ — нечётное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через $3n$ ходов получится $n$ квадратных…
В семейном альбоме есть
На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может…
За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: «Кто ваш сосед справа — умный или дурак?» В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит…
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать…
На острове Невезения каждый житель либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, причём правдивых не менее четверти всех жителей. На выборах президента, в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата — Ёлкин и Палкин. На вопрос наблюдателя ООН «за кого вы голосовали?» большинство…
Дано два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных…
Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором ни один не охотится за кем-либо из этого подмножества.