«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Последовательность $(a_n)$ определяется по следующим правилам: $$ a_0=9,\ a_{k+1}=3a_k^4+4a_k^3, \quad\text{для любого } k \gt 0. $$ Докажите, что $a_{10}$ содержит более 1000 девяток (в десятичной записи).
Отрезки $AK$, $BM$, $CN$, $DL$ делят квадрат $ABCD$ со стороной 1 на четыре треугольника с площадями $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ и пять четырёхугольников (рис. 1); площадь…
Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —
Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченные по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти…
Круг разбит на $n$ секторов. В некоторых из них стоят фишки; всего фишек $n+1$. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после…
Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Через $V(n;b)$ обозначим число разложений $n$ в произведение (одного или нескольких) сомножителей, каждый из которых больше $b$ (например: $36=6\cdot6=4\cdot9=3\cdot3\cdot4=3\cdot12$, так что $V(36;2)=5$).…
Пусть в прямоугольном треугольнике $AB$ и $AC$ — катеты, $AC\gt AB$. На $AC$ выбрана точка $E$, а на $BC$ — точка $D$ так, что $AB=AE=BD$. Докажите, что треугольник $ADE$ будет…
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…