«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Три шахматиста $A$, $B$ и $C$ сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков $A$ занял первое место, $C$ — последнее, а по числу побед, наоборот,…
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом $A$ первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше $A$ и при этом стоят правее $A$. По второй строчке аналогично строится третья…
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по $45^\circ$. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Через $S(n)$ обозначим сумму цифр числа $n$ (в десятичной записи). Существуют ли три различных числа $m$, $n$ и $p$ таких, что $$ m+S(m)=n+S(n)=p+S(p)? $$
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$ и $q$ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$; кроме того, известно, что $a_1=1$, $a_2=2$.
С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001,…
Докажите, что для любой последовательности положительных чисел $a_n$ целые части квадратных корней из чисел $$ b_n=(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ все различны.
Известно, что Земля — плоская. Верно ли, что любой выпуклый многогранник можно осветить точечным фонарём из некоторой точки пространства так, что его тень будет многоугольником, хотя бы один угол которого — острый?
Существует ли такой многочлен $P(x)$, что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени $P^n(x)$, $n\gt1$, — положительные?
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.