«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $$ \dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a} $$ — целое число. Пусть $d$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Докажите, что $d^2\le a+b$.
Существует ли квадратный трёхчлен $p(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $p(n)$ также записывается одними единицами?
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,…
Профессор Тарантога в статье о сепульках дал $n$ определений сепуления. Аспиранты профессора постепенно доказали, что все эти определения эквивалентны. Каждый из аспирантов защитил диссертацию на тему: «Сепуление в смысле $i$-го определения…
Два художника играют в следующую игру на карте (первоначально пустой). Первый рисует новую страну (многоугольник, не лежащий внутри уже нарисованных), а второй красит её так, чтобы страны, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Может ли первый художник заставить второго…
Пусть $m$ и $n$ — целые положительные числа. Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ — различные элементы множества $\{1,2,\ldots,n\}$ такие, что для любых индексов $i$, $j$, удовлетворяющих…
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=AC$. Предположим, что:
Для любого целого положительного числа $k$ через $f(k)$ обозначим число всех элементов в множестве $\{k+1,k+2,\ldots,2k\}$, в двоичном представлении каждого из которых имеется в точности три единицы.
Покажите, что существует множество $A$, состоящее из целых положительных чисел, которое обладает следующим свойством: для каждого бесконечного множества $S$ простых чисел существует $k\ge2$, а также существуют два целых положительных числа…
Лыжник проехал через каждую из $n$ деревень по 2 раза и вернулся в исходную точку. Всегда ли по его лыжне можно проехать так, чтобы в каждой из этих $n$ деревень побывать ровно один раз (возвращаться в исходную точку не обязательно)?