«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите $a_{1000}$, если $a_1=0$ и при $n=1$, 2, 3, $\ldots$
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки $A$ и $B$, на другой — $C$ и $D$. Отрезок $AC$ проходит через общую точку сфер. Отрезок $BD$ проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой,…
На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.
Докажите, что если $m$ чётно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.
На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю $n$,…
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ — некоторая последовательность точек на плоскости. Начав с некоторой точки $T_0$, построим последовательность $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\ldots$, где…
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Докажите (для любых чисел $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$) неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$