«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ такова, что для любых натуральных $m$ и $n$ $$ |x_{m+n}-x_m-x_n|\lt \dfrac1{m+n}. $$ Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $a+\dfrac b2$ и $b-\dfrac a2$. Докажите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$, $O$ — точка пересечения отрезков $CM$ и $AN$. Известно, что $AM+AN=CM+CN$. Докажите, что…
Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркивается несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываются те же цифры, но в…
Докажите, что если уравнение $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$ имеет корень, больший 1, то уравнение $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ имеет хотя бы один корень.
Для каких $k$ можно расположить на окружности
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$ другими?
В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии создано три партии $A$, $B$, $C$, выдвигающие своих кандидатов. Партию $A$ поддерживает всего 15% избирателей,…
Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры $BK$, $BL$, $DM$, $DN$ из вершин $B$ и $D$. Докажите, что отрезки $KL$ и…
Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 км, на
так, чтобы один из них имел сторону не более 1 м?
На плоскости заданы точки $A$, $B$, $C$ — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» — их радиусы уменьшаются до 0 — и…