Задачи по математике, стр. 108 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М1430
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$‍‍ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$‍‍ и $q$‍‍ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$‍;‍ кроме того, известно, что $a_1=1$‍,‍ $a_2=2$‍.‍
Задача М1431
С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001,…
Задача М1432
Докажите, что для любой последовательности положительных чисел $a_n$‍‍ целые части квадратных корней из чисел $$ b_n=(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ все различны.
Задача М1434
Известно, что Земля — плоская. Верно ли, что любой выпуклый многогранник можно осветить точечным фонарём из некоторой точки пространства так, что его тень будет многоугольником, хотя бы один угол которого — острый?
Задача М1451
Натуральные числа $a$‍‍ и $b$‍‍ таковы, что $$ \dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a} $$ — целое число. Пусть $d$‍‍ — наибольший общий делитель чисел $a$‍‍ и $b$‍.‍ Докажите, что $d^2\le a+b$‍.‍
Задача М1453
Существует ли квадратный трёхчлен $p(x)$‍‍ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$‍,‍ в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $p(n)$‍‍ также записывается одними единицами?
Задача М1460
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,…
Задача М1470
Покажите, что существует множество $A$‍,‍ состоящее из целых положительных чисел, которое обладает следующим свойством: для каждого бесконечного множества $S$‍‍ простых чисел существует $k\ge2$‍,‍ а также существуют два целых положительных числа…
Задача М1580
Можно ли несколькими отрезками и дугами разрезать круг на части так, чтобы сложить из этих частей равновеликий квадрат?
Задача М2709
В стране $n\gt 2022$‍‍ городов. Некоторые пары городов соединены прямыми авиалиниями. Назовём распределение авиалиний между двумя компаниями правильным, если в нём не найдётся трёх городов, любые два из которых соединены одной и той же компанией. Оказалось, что правильного распределения…

Задачи по математике‍1104