«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дана плоскость, пересекающая сферу с центром $O$ по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки $A$ и $B$, причём радиус $OA$ перпендикулярен данной плоскости. Через прямую $AB$ проводится произвольная…
Докажите, что число $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ является составным.
Даны различные квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что $f(1)+f(10)+f(100)=g(1)+g(10)+g(100)$. При каких $x$ выполнено равенство $f(x)=g(x)$?
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два…
На острове Невезения каждый житель либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, причём правдивых не менее четверти всех жителей. На выборах президента, в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата — Ёлкин и Палкин. На вопрос наблюдателя ООН «за кого вы голосовали?» большинство…
Дано два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных…
Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором ни один не охотится за кем-либо из этого подмножества.