Задача М434‍‍

Число $\dfrac21+\dfrac{2^2}2+\dfrac{2^3}3+\ldots+\dfrac{2^n}n$‍‍ представляется в виде несократимой дроби $\dfrac{p_n}{q_n}$‍.‍

1. Докажите, что $p_n$‍‍ — чётное число.
2. Докажите, что если $n\ge3$‍,‍ то $p_n$‍‍ делится на 8.
3. Докажите, что для любого натурального $k$‍‍ можно указать такое $n$‍,‍ что числа $p_n$‍,‍ $p_{n+1}$‍,‍ $p_{n+2}$‍,‍ $\ldots$‍‍ делятся на $2^k$‍.‍