«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Несколько человек в течение $t$ минут наблюдало за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла…
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами $1$, $2$, $\ldots$, $12$ так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно из чисел $1$,…
В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена…
В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию только в том случае, если он выше ростом, чем 80 % (или больше) его соседей. Чтобы доказать своё право на зачисление в гвардию, человек сам называет число $R$ (радиус), после чего его «соседями» считаются все,…
В клетки таблицы $10\times10$ записывают каким-либо образом цифры 0, 1, $\ldots$, 9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
Лестница состоит из $2n+1$ ступеней. На $n$ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель…
Докажите, что если $m$ чётно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.
На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю $n$,…
Множество всех целых чисел разбито на попарно непересекающиеся бесконечные арифметические прогрессии с положительными разностями $d_1$, $d_2$, $d_3$, $\ldots$ Может ли случиться, что $$ \dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}+\dfrac1{d_3}+\ldots<0{,}9?\tag{*} $$ Рассмотрите два случая:
Текст задачи готовится
Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченные по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти…
Круг разбит на $n$ секторов. В некоторых из них стоят фишки; всего фишек $n+1$. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после…
Пусть в прямоугольном треугольнике $AB$ и $AC$ — катеты, $AC\gt AB$. На $AC$ выбрана точка $E$, а на $BC$ — точка $D$ так, что $AB=AE=BD$. Докажите, что треугольник $ADE$ будет…
$n$ чисел ($n\gt1$) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма этих чисел, делённая на $n-1$. Пусть $a$, $b$, $c$, $\ldots$ — $n$ близких чисел, $S$ — их сумма.…
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Прямоугольник $a\times b$ ($a\gt b$) разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что $\dfrac ab\ge2$.