На двух сторонах $AB$ и $BC$ правильного $2n$-угольника взято по точке $K$ и $N$ так, что угол $KEN$, где $E$ — вершина, противоположная $B$, равен $\dfrac\pi{2n}$. Докажите, что $NE$ — биссектриса угла $KNC$.
Н. Агаханов, Н. Нецветаев, Д. Терёшин, Д. В. Фомин
Всесоюзная математическая олимпиада (XXIV, 1990 год)
На лучах $BA$ и $BC$ отложим точки $A'$ и $C'$ такие, что $AA'=AB$, $CC'=BC$. Точки $A'$, $B$ и $C'$ — это вершины правильного $2n$-угольника, центр которого совпадает с точкой $E$ (на рисунке показан правильный шестиугольник). При повороте на угол $\dfrac\pi n$ вокруг точки $E$ точка $A'$ переходит в $B$, а точка $B$ — в $C'$. При этом точка $K$ переходит в некоторую точку $K'$ на отрезке $CC'$. Поскольку $EK=EK'$, $\angle KEN=\angle NEK'=\dfrac\pi{2n}$, треугольники $KNE$ и $K'NE$ равны. Но это и значит, что $\angle KNE=\angle K'NE=\angle CNE$.
Н. Агаханов, Н. Нецветаев, Д. Терёшин, Д. В. Фомин
