«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что:
Два игрока поочерёдно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие $p$. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
Дана стопка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:
В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолёты нескольких компаний). Каждые два города связаны по…
На плоскости дан выпуклый $n$-угольник, у которого длина $k$-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $n$). Докажите…
Найдите все решения в целых числах $(x, y)$ уравнения $$ x^{3}-13xy+y^{3}=13. $$
Рассмотрим разбиения данного выпуклого $n$-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовём перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали $BC$, служащей общей стороной двух треугольников $ABC$ и $BCD$…
На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю $n$,…
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $a+\dfrac b2$ и $b-\dfrac a2$. Докажите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.
Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркивается несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываются те же цифры, но в…
Докажите, что если уравнение $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$ имеет корень, больший 1, то уравнение $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ имеет хотя бы один корень.
Текст задачи готовится
Определим последовательность $b_n$ условиями: $b_1=0$, $b_2=2$, $b_3=3$, $b_{n+1}=b_{n-1}+b_{n-2}$ при $n\ge3$. Докажите, что при простом $p$ число $b_p$ делится на $p$.
Докажите для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, не больших 1, неравенство $$ \dfrac a{bc+1}+\dfrac b{ca+1}+\dfrac c{ab+1}\le2. $$
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 выделен квадрат $ABCD$ $n\times n$ клеток. Из вершины $A$ в $C$ по линиям сетки проводится случайная ломаная длины $2n$. В $n$ клетках квадрата, случайно расположенных в разных…
На двух сторонах $AB$ и $BC$ правильного $2n$-угольника взято по точке $K$ и $N$ так, что угол $KEN$, где $E$ — вершина, противоположная $B$, равен $\dfrac\pi{2n}$. Докажите, что…
В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все три попарно дружат, либо все три враждуют друг с другом.
Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16, $\ldots$, используя квадрат каждого размера не более
В отрезке находится несколько отрезков меньшего размера, покрывающих его целиком.
Квадрат $99\times99$ разбит на фигурки трёх типов (рис. 1).
Треугольник имеет целые длины сторон $x$, $y$, $z$, причём известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что $x^2+y^2+z^2$ — квадрат целого числа.
Круг разбит на $n$ секторов. В некоторых из них стоят фишки; всего фишек $n+1$. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после…
Числа от 1 до $n$ расставлены в некотором порядке в клетках полоски $1\times n$. Будем называть флипом операцию, которая некоторым образом (см. ниже) выбирает две разные клетки полоски и меняет местами числа, записанные в них, но только в том случае, когда большее…
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$, $b$, $c$, $d$ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$, то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
Для каких $k$ можно расположить на окружности
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$ другими?
В королевстве Олимпия $n\gt6$ городов, каждые два из которых соединены одной дорогой с односторонним движением. При этом не из каждого города можно проехать в любой другой, не нарушая правил движения.
На конгрессе присутствуют 100 делегатов, каждый из которых знает несколько иностранных языков. Известно, что любые трое могут поговорить между собой без помощи остальных. Докажите, что делегатов можно поселить в 50 двухместных номерах гостиницы так, что живущие в одном номере могли бы…
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ больше диагонали $BD$. Точка $M$ на диагонали $AC$ такова, что около четырёхугольника $BCDM$ можно описать окружность. Докажите, что $BD$ — общая касательная…
Докажите, что число $235^2+972^2$ — составное.
Целые числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что их сумма равна 1. Для каждого $k$ от 1 до $n$ через $N_k$ обозначим количество положительных чисел среди $n$…