Задача М1187‍‍

Числа можно расставить в таком порядке: $$ m-1,\ 2,\ m-3,\ 4,\ m-5,\ 6,\ \ldots,\ 1,\ m-2\tag{*} $$ (на нечётных местах стоят нечётные числа в порядке убывания, на чётных местах — чётные в порядке возрастания). Выпишем остатки от деления на $m$‍‍ суммы первых $k$‍‍ чисел ($k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $m$‍)‍ последовательности $(*)$‍:‍ $$ m-1,\ 1,\ m-2,\ 2,\ m-3,\ 3,\ \ldots,\ \dfrac m2-1,\ \dfrac m2. $$

Таким образом, среди этих остатков $r_k$‍‍ встречаются по разу все числа от 1 до $m-1$‍.‍ Поскольку $r_i\ne r_k$‍‍ при любых $i\lt k$‍,‍ сумма чисел от $i+1$‍‍ до $k$‍‍ в указанной выше последовательности $(*)$‍‍ не делится на $m$‍.‍