«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что $$ C_n^1+C_n^3\cdot1973+C_n^5\cdot1973^2+C_n^7\cdot1973^3+\ldots $$ делится на $2^{n-1}$. (Здесь $C_n^k$ — коэффициенты многочлена $$ (a+b)^n=\textstyle\sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n-k}.\Big) $$
Дано $n$ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Найдите наименьшее число вида
где $k$ и $l$ — натуральные числа.
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остаётся одно число. Какое это может быть число?
Имеется таблица $n\times n$ клеток, в каждой клетке которой вначале стоит число 0. Разрешается произвольно выбрать $n$ чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.
Докажите, что если $m$ чётно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.
Текст задачи готовится