«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
$p$ — простое нечётное число. Дано $p-1$ целых чисел, не делящихся на $p$. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, можно получить $p-1$ чисел, сумма которых делится на $p$.
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…
На прямой по порядку расположены точки $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ так, что длины отрезков $A_0A_1$, $A_1A_2$, $\ldots$, $A_{n-1}A_n$ не превосходят 1. Требуется отметить $k-1$ из…
Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв $A$ и $B$. Первое слово в последовательности — «$A$»; $k$-e слово получается из $(k-1)$-го с помощью следующей операции: каждое $A$ заменяется на…