«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Убывающая последовательность $(x_n)$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_4}2+\dfrac{x_9}3+\ldots+\dfrac{x_{n^2}}n\le1. $$ Докажите, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_2}2+\dfrac{x_3}3+\ldots+\dfrac{x_n}n\lt3. $$
Кенгуру прыгает по углу $x\ge0$, $y\ge0$ координатной плоскости $Oxy$ следующим образом: из точки $(x;y)$ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1;y-1)$ или в точку $(x-5;y+7)$, причём прыгать в точки, у которых одна из координат…
Через точку $O$
проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перпендикулярны друг другу. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$, отличная от…
Конечная последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n-1$ сумма $$ a_1a_{k+1}+a_2a_{k+2}+\ldots+a_{n-k}a_n $$ является нечётным числом.
На прямой по порядку расположены точки $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ так, что длины отрезков $A_0A_1$, $A_1A_2$, $\ldots$, $A_{n-1}A_n$ не превосходят 1. Требуется отметить $k-1$ из…
На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар $(A;B)$ этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$, причём так, что в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$.
Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной…
Найти $x$ и $y$ из системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-y\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=a,\\ \dfrac{y-x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=b \end{array}\right. $$ ($a$ и $b$ — данные числа).
Докажите, что для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$, выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$ — враг $B$, то $B$ — враг…