Задачи, стр. 63 // Архив журнала «Квант»

Задача М581
1. Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?
2. Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?
Задача М582
В окружность с центром $O$‍‍ вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки $O$‍‍ до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
Задача М583
Рассматриваются наборы камней, масса каждого из которых не больше $2~\text{кг}$‍,‍ а общая масса набора — $50~\text{кг}$‍.‍ Из такого набора выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от $10~\text{кг}$‍‍ на наименьшее возможное для данного набора число…
Задача М584
Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?
Задача М585
На химической конференции присутствовало $N$‍‍ учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, иногда — лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного…
Задача Ф594
Представьте себе, что вы находитесь в жарко натопленной бане, а за окном — мороз. Куда повалит пар, если вы откроете форточку?
Задача М586
В треугольнике $ABC$‍,‍ у которого $\widehat B=60^\circ$‍,‍ провели биссектрисы $AD$‍‍ и $CE$‍,‍ пересекающиеся в точке $O$‍.‍ Докажите, что $|OD|=|OE|$‍.‍
Задача М587
Дана тройка чисел 2, $\sqrt2$‍,‍ $\dfrac1{\sqrt2}$‍.‍ Разрешается любые два из них заменить двумя такими: их суммой, делённой на $\sqrt2$‍,‍ и их разностью, также делённой на $\sqrt2$‍.‍ Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1,…
Задача М588
1. Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер всегда равна трём.
2. Сформулируйте и…
Задача М589
На плоскости дан набор из $n$‍‍ векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор из $n$‍‍ векторов, сумма которых имеет длину

Задачник «Кванта»‍1464