«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
По арене круглого цирка радиуса 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов, на которые он поворачивал (рис. 3), не меньше 2998 радиан.
Углы остроугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал
Докажите, что $$ C_n^1+C_n^3\cdot1973+C_n^5\cdot1973^2+C_n^7\cdot1973^3+\ldots $$ делится на $2^{n-1}$. (Здесь $C_n^k$ — коэффициенты многочлена $$ (a+b)^n=\textstyle\sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n-k}.\Big) $$
На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоторая точка, одинаково удалённая от $A$ и $B$. Построим последовательность точек $C_1=C$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$,…
По заданному $x$ значение $x^8$ можно найти за три арифметических действия: $x^2=x\cdot x$, $x^4=x^2\cdot x^2$, $x^8=x^4\cdot x^4$, а $x^{15}$ — за пять действий: первые три — те же самые, затем $x^8\cdot x^8=x^{16}$ и $x^{16}:x=x^{15}$. Покажите,…
Докажите, что $3^{1974}+5^{1974}$ делится на 13.
Пусть $A_iH_i$ — высота и $A_iM_i$ — медиана, проведённые из вершины $A_i$ остроугольного треугольника $A_1A_2A_3$ ($i=1$, 2, 3). Докажите, что одно из трёх произведений $|H_1M_1|\cdot|A_2A_3|$, $|H_2M_2|\cdot|A_3A_1|$, $|H_3M_3|\cdot|A_1A_2|$ равно сумме двух…
$n$ отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $\ldots$, $A_nB_n$ (рис. 1) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на…
Даны два набора из $n$ вещественных чисел: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ и $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий: