«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоторая точка, одинаково удалённая от $A$ и $B$. Построим последовательность точек $C_1=C$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$,…
По заданному $x$ значение $x^8$ можно найти за три арифметических действия: $x^2=x\cdot x$, $x^4=x^2\cdot x^2$, $x^8=x^4\cdot x^4$, а $x^{15}$ — за пять действий: первые три — те же самые, затем $x^8\cdot x^8=x^{16}$ и $x^{16}:x=x^{15}$. Покажите,…
Докажите, что $3^{1974}+5^{1974}$ делится на 13.
Пусть $A_iH_i$ — высота и $A_iM_i$ — медиана, проведённые из вершины $A_i$ остроугольного треугольника $A_1A_2A_3$ ($i=1$, 2, 3). Докажите, что одно из трёх произведений $|H_1M_1|\cdot|A_2A_3|$, $|H_2M_2|\cdot|A_3A_1|$, $|H_3M_3|\cdot|A_1A_2|$ равно сумме двух…
$n$ отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $\ldots$, $A_nB_n$ (рис. 1) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на…
Даны два набора из $n$ вещественных чисел: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ и $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Предлагается построить $N$ точек на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для каждых двух точек $M_i$, $M_j$ известно, чему должно равняться расстояние $|M_iM_j|=r_{ij}$ (здесь $i$ и…
На плоскости даны две прямые $m$ и $n$ и точка $O$. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$ и $n$, а центр описанной окружности находится в точке $O$.
Квадрат $6 \times 6$ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$ имеют форму уголка, а остальные $12-k$ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$ это возможно?
В выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$ вписан $n$-угольник $B_1B_2\ldots B_n$, площадь которого равна $P$ (вершина $B_i$ лежит нa стороне $A_iA_{i+1}$ для $i=1$, 2, $\ldots$, $n-1$, а вершина…