«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги $n$ клеток закрашено в чёрный цвет. В моменты времени $t = 1$, 2, $\ldots$ происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка $k$ приобретает тот цвет,…
$N$ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом $N$.
Дан выпуклый $n$-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше $n$ прямых, каждая из которых делит площадь $n$-угольника пополам.
Доказать, что если $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ — положительные числа, то $$ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \ge 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1). $$
В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Король обошёл шахматную доску $8\times8$, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь,…
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние от границы кляксы, а также наибольшее расстояние от границы кляксы (на рис. показано наибольшее и наименьшее расстояния от границы для точки $K$). Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее…
Докажите, что у каждого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: $28=1+2+4+7+14$.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Докажите, что попарные углы между тремя этими биссектрисами все тупые, либо все острые, либо все прямые.