«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причём $BP = BQ$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок…
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой…
На $n$ карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно $+1$ или $-1$. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех $n$ чисел, если за один вопрос разрешается узнать
Дан треугольник $ABC$ площади 1. Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$, — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Какую минимальную площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$, и…
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
В клетках прямоугольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один ход разрешается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.