«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для нецелого $a \gt 1$ (причём $a\ne \sqrt[p]{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа) и натурального $n$ выполняется равенство $$ [\log_a2]+[\log_a3]+\ldots+[\log_an]+[a]+[a^2]+\ldots+[a^k]=nk, $$ где $k=[\log_an]$ ($[x]$ — целая часть числа…
На плоскости заданы два луча $p$, $q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луче $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луче $q$,…
Докажите, что при любых положительных $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_n$ выполнено неравенство $$ \dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)}\le\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\dfrac{a_2}{a_3+a_4}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}.$$
Восемь хоккейных команд соревнуются между собой за выход в финальную четвёрку. (Каждые две встречаются один раз, за выигрыш даётся два очка, за ничью — одно очко, за проигрыш — 0 очков.) Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?
Три треугольника — белый, красный и зелёный — имеют общую внутреннюю точку $M$. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка $M$ находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трёх разных…
Найдите наименьшее значение выражения $(x+y)(x+z)$, если $x$, $y$, $z$ — положительные числа и $xyz(x+y+z)=1$.
У одного конца $A$ прямолинейной дороги $AB$ собрались 10 кенгуру и начали играть в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первого так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концом прыжка,…
В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров (рис. 1). Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (т. е. центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).
Найдите все решения в целых числах $(x, y)$ уравнения $$ x^{3}-13xy+y^{3}=13. $$
Черепаха вышла из точки $A$ и пришла в точку $B$, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки $A$ вышла вторая черепаха, которая в каждый момент времени двигалась в направлении первой…