Назовём $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов $\Big($по $\dfrac{360^\circ}k\Big)$. При каких $k\gt2$ верно следующее утверждение: для любых $k$ точек плоскости общего положения (никакие три из которых не лежат на одной прямой) существует $k$-звезда, в каждом из $k$ углов которой содержится ровно одна из этих $k$ точек?
Ответ: при $k=3$ и $k=4$. При $k=3$ в качестве центра $O$ 3-звезды можно взять, например, основание высоты треугольника с вершинами в трёх данных точках, опущенной на наибольшую сторону, и один из лучей направить по продолжению этой высоты (рис. 1). При $k=4$ рассмотрим два случая. Если точки лежат в вершинах выпуклого четырёхугольника, то за центр 4-звезды можно взять точку пересечения его диагоналей, а лучи направить по биссектрисам углов между ними (рис. 2). Если одна из точек $D$ лежит внутри треугольника $ABC$ с вершинами в трёх других и $\angle ADB\gt90^\circ$, то в качестве $O$ можно выбрать точку пересечения отрезка $DC$ и некоторой полуокружности, диаметр которой $A_1B_1$ целиком лежит на отрезке $AB$, а лучи направить по прямым $OA_1$ и $OB_1$ (рис. 3).
Рис. 1Рис. 2Рис. 3Рис. 4
Чтобы доказать, что для $k=5$ (и $k\gt5$) утверждение неверно, достаточно привести пример; в качестве такового годятся 5 точек, лежащие на одной дуге величиной $\alpha\lt72^\circ$. В самом деле, если дуга $\alpha$ пересекает четыре из пяти лучей 5-звезды с центром $O$, то $\alpha\gt72^\circ$ (поскольку полусумма дуг $AB'$ и $A'B$ на рисунке 4 равна $\angle AOB'=36^\circ$).
