«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Задачи М2850—М2853 предлагались на Х Кавказской математической олимпиаде.
На доске нарисована окружность и на ней отмечены $2n$ точек, делящие её на $2n$ равных дуг. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает натуральное число $d\le n$ и объявляет это число Васе. После этого для победы Васе нужно покрасить все отмеченные…
Текст задачи готовится
Назовём набор чисел удачным, если его нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё одно целое число…
На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;\ 100000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$,…
По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в…
Дано натуральное число $k$. В стране, валюта которой — тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более $k$ купюр (включая…
Петя красит каждую клетку доски $2m\times2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек,…
