Задачник «Кванта» / Квант. — 1995. — № 6 / 1995 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—31, 34—36.

Задачи М1525⁠—⁠М1529а), М1530 предлагались Ha XXXVI Международной математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М1521⁠—⁠М1530; Ф1528⁠—⁠Ф1537 Задачи М1521—М1530; Ф1528—Ф1537 // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—24.

Задача М1521
В парламент выбрано 256 депутатов. Каждый из них ответил на 8 вопросов анкеты (требующих ответов «да» или «нет») и выяснилось, что никакие двое не ответили одинаково на все вопросы. Можно ли их рассадить на 256 стульев, расставленных в квадрате $16\times16$‍‍ так, чтобы ответы каждого…
Задача М1522
Докажите, что для любых натуральных $m$‍,‍ $d$‍,‍ $k$‍‍ найдётся натуральное $n$‍‍ такое, что $$ \left(\sqrt{m}+\sqrt{m+d}\right)^k=\sqrt{n}+\sqrt{n+d^k}. $$
Задача М1523
Рассмотрим последовательность $a_1=1$‍,‍ $a_2=2$‍,‍ $a_3=3$‍,‍ $a_4=4$‍,‍ $a_5=5$‍,‍ $a_6=119$‍,‍ $a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n-1$‍‍ при $n\ge 5$‍.‍ Докажите, что $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{70}^2=a_1a_2\ldots a_{70}. $$
Задача М1524
Пусть $P$‍‍ — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника $ABCD$‍.‍ Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники $ABP$‍,‍ $BCP$‍,‍ $CDP$‍,‍ $DAP$‍,‍ лежат на одной окружности.
Задача М1525
Пусть $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ и $D$‍‍ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$‍‍ и $BD$‍‍ пересекаются в точках $X$‍‍ и $Y$‍.‍ Прямые…
Задача М1526
Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — положительные числа такие, что $abc=1$‍.‍ Докажите, что $$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\ge \dfrac{3}{2}. $$
Задача М1527
Найдите все целые $n\gt3$‍,‍ для которых существуют $n$‍‍ точек $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍‍ на плоскости, и действительные числа $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $r_n$‍,‍ удовлетворяющие…
Задача Ф1528
Текст задачи готовится
Задача М1528
Найдите наибольшее значение $x_0$‍,‍ для которого существует последовательность положительных чисел $x_0$‍,‍ $x_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_{1995}$‍,‍ удовлетворяющая следующим двум условиям:
Задача Ф1529
Текст задачи готовится
Задача М1529
Пусть $ABCDEF$‍‍ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$‍,‍ $DE=EF=FA$‍‍ и $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$‍.‍ Пусть $G$‍‍ и $H$‍‍ — две точки внутри шестиугольника такие, что $$ \angle AGB=\angle DHE=120^\circ.\tag{*} $$
1. Докажите, что…
Задача Ф1530
Текст задачи готовится
Задача М1530
Пусть $p$‍‍ — нечётное простое число. Найдите количество подмножеств $A$‍‍ множества $\{1,2,{\ldots},2p\}$‍‍ таких, что
1. $A$‍‍ содержит ровно $p$‍‍ элементов;
Задача Ф1531
Текст задачи готовится
Задача Ф1532
Текст задачи готовится
Задача Ф1533
Текст задачи готовится
Задача Ф1534
Текст задачи готовится
Задача Ф1535
Текст задачи готовится
Задача Ф1536
Текст задачи готовится
Задача Ф1537
Текст задачи готовится

Решения задач М1491⁠—⁠М1500; Ф1508⁠—⁠Ф1517 Решения задач М1491—М1500; Ф1508—Ф1517 // Квант. — 1995. — № 6. — С. 25—31, 34—36.

Задача М1491
Текст задачи готовится
Задача М1492
Текст задачи готовится
Задача М1493
Текст задачи готовится
Задача М1494
Текст задачи готовится
Задача М1495
Текст задачи готовится
Задача М1496
Текст задачи готовится
Задача М1497
Текст задачи готовится
Задача М1498
Текст задачи готовится
Задача М1499
Текст задачи готовится
Задача М1500
Докажите, что в любой компании из 50 человек обязательно найдутся двое, имеющие среди остальных членов компании чётное число (быть может, 0) общих знакомых.
Задача Ф1508
Текст задачи готовится
Задача Ф1509
Текст задачи готовится
Задача Ф1510
Текст задачи готовится
Задача Ф1511
Текст задачи готовится
Задача Ф1512
Текст задачи готовится
Задача Ф1513
Текст задачи готовится
Задача Ф1514
Текст задачи готовится
Задача Ф1515
Текст задачи готовится
Задача Ф1516
Текст задачи готовится
Задача Ф1517
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—31, 34—36.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1995
Номер: 6
Страницы: 23—31, 34—36
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23⁠—⁠31, 34⁠—⁠36.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1995/6/zadachnik_kvanta-8c25caee/
Полный текст: опубликован 18.10.2025

Задачник «Кванта» (1995, № 6)Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23⁠—⁠31, 34⁠—⁠36.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—31, 34—36.

Задачи М1521⁠—⁠М1530; Ф1528⁠—⁠Ф1537 Задачи М1521—М1530; Ф1528—Ф1537 // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—24.

Решения задач М1491⁠—⁠М1500; Ф1508⁠—⁠Ф1517 Решения задач М1491—М1500; Ф1508—Ф1517 // Квант. — 1995. — № 6. — С. 25—31, 34—36.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1995. — № 6. — С. 23—31, 34—36.