«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре куска, из которых можно составить два подобных ему треугольника.
Обозначим через $\sigma(n)$ сумму всех натуральных делителей числа $n$ (включая $1$ и $n$) и через $\varphi(n)$ — количество чисел, меньших числа $n$ и взаимно простых с ним. Докажите, что для любого натурального…
Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке $O$.
Докажите неравенство $$ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}. $$
На начальной остановке в автобус вошло 32 пассажира, которым нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за…
Текст задачи готовится
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…
