«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, у кого впервые получится произведение больше
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$. Докажите, что длина проекции отрезка $AK$ на прямую $AB$ (или $AC$) равна полусумме длин сторон $AB$ и…
Текст задачи готовится
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$, если оно разлагается в произведение $K$ последовательных натуральных чисел, больших 1.
Точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ взяты на сторонах, соответственно, $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ так, что $$ |AC_1|:|C_1B|=|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=1:3. $$ Докажите, что периметр $P$ треугольника $ABC$ и…
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке…
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$ клеток одного цвета?
