Задачник «Кванта» / Квант. — 1977. — № 8 / 1977 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—50.

В этом и следующем номерах «Задачник «Кванта» составлен в основном из задач, предлагавшихся на последней Всесоюзной олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М456⁠—⁠М460; Ф468⁠—⁠Ф472 Задачи М456—М460; Ф468—Ф472 // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—43.

Задача М456
В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.
Задача М457
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое (рис. 1). Докажите, что число особенных пар чётно.
Задача М458
Написан многочлен $x^{10}+{*}x^9+{*}x^8+\ldots+{*}x^2+{*}x+1$‍.‍ Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет любую из звёздочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звёздочек, затем снова первый заменяет одну из звёздочек числом и т. д. (всего 9 ходов). Если у полученного…
Задача М459
В некоторой стране из каждого города в любой другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездки по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута…
Задача М460
Пусть число $A$‍‍ — $2n$‍‍-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число $A$‍‍ особым, если оно само является точным квадратом и числа, образованные его первыми $n$‍‍ цифрами и его последними $n$‍‍ цифрами,…
Задача Ф468
Текст задачи готовится
Задача Ф469
Текст задачи готовится
Задача Ф470
Текст задачи готовится
Задача Ф471
Текст задачи готовится
Задача Ф472
Текст задачи готовится

Решения задач М416⁠—⁠М419; Ф428⁠—⁠Ф431 Решения задач М416—М419; Ф428—Ф431 // Квант. — 1977. — № 8. — С. 44—50.

Задача М416
На плоскости даны $n$‍‍ точек $A_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍,‍ никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих…
Задача М417
На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломаной. Докажите, что длина ломаной не меньше $3\sqrt2$‍.‍
Задача М418
Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ выполняются неравенства: $$ n{\left(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right)}\le 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\le 1+n{\left(1-\dfrac1{\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\right)}. $$
Задача М419
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.
Задача Ф428
Текст задачи готовится
Задача Ф429
Текст задачи готовится
Задача Ф430
Текст задачи готовится
Задача Ф431
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—50.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1977
Номер: 8
Страницы: 42—50
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42⁠—⁠50.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1977/8/zadachnik_kvanta-40a16261/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1977, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42⁠—⁠50.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—50.

Задачи М456⁠—⁠М460; Ф468⁠—⁠Ф472 Задачи М456—М460; Ф468—Ф472 // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—43.

Решения задач М416⁠—⁠М419; Ф428⁠—⁠Ф431 Решения задач М416—М419; Ф428—Ф431 // Квант. — 1977. — № 8. — С. 44—50.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 42—50.