«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из шахматной доски ($8\times8$) удалена одна угловая клетка ($1\times1$) (рис. 1). На какое наименьшее число равновеликих треугольников (одинаковых по площади) можно разрезать оставшуюся часть доски?
Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты (рис. 2). В некоторых стенах проделаны двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеются ровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через чётное…
Если при любом $x$ $$ a_1\cos x+a_2\cos2x+\ldots+a_n\cos nx\ge-1, $$ то для чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ выполнено неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n. $$
Докажите это утверждение
Докажите, что среди $n$-значных чисел найдётся более $8^n$ таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности никакая цифра) не встречается два раза подряд.
При каком $C_1$ ёмкость системы конденсаторов, показанной на рисунке 3, равна:
На расстоянии $2F$ от собирающей линзы $\text{Л}_1$ с фокусным расстоянием $F$ находится светящийся предмет. Освещённость чёткого изображения предмета на экране при этом равна $E_0$. Между экраном и линзой $\text{Л}_1$ поместили рассеивающую…
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят…
Обозначим через $T_k(n)$ сумму произведений по $k$ чисел от 1 до $n$. Например, $$ T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35. $$
Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности, а точки $K$ и $H$ построены так, что все четыре угла $KAB$, $KCD$, $HBA$ и $HDC$ — прямые. Докажите, что прямая $KH$ проходит через…
Можно ли расставить числа $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$ в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину длину боковой…
