«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из точки $M$, взятой внутри треугольника $A_1B_1C_1$, опущены перпендикуляры $MA_2$, $MB_2$, $MC_2$ на прямые $B_1C_1$, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Затем из той же точки $M$ опущены…
Докажите, что если $x+\dfrac1y=y+\dfrac1z=z+\dfrac1x$, то $x=y=z$ или $x^2y^2z^2=1$.
Докажите, что у любого $n$-угольника ($n\ge 4$) есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри $n$-угольника, и выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь $n$-угольник (при каждом $n$).
Маленький шарик движется внутри бильярда, имеющего форму эллипса с фокусами $A$ и $B$, упруго отражаясь от его бортов, по ломаной $P_1P_2P_3P_4\ldots$ ($P_1$, $P_2$, $\ldots$ — точки эллипса). Докажите, что если звено $P_1P_2$…
Про последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ известно, что $|a_1|= 1$ и $|a_{k+1}|=|a_k+1|$ при каждом $k=1$, 2, $\ldots$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1+a_2+\ldots+a_n|$, если:
Текст задачи готовится
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $[AD]$ и $[CE]$. Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
Какие выпуклые $n$-угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке 1 показано, что треугольник так разбить можно.)
