Задача М356‍‍

Из точки $M$‍,‍ взятой внутри треугольника $A_1B_1C_1$‍,‍ опущены перпендикуляры $MA_2$‍,‍ $MB_2$‍,‍ $MC_2$‍‍ на прямые $B_1C_1$‍,‍ $A_1C_1$‍‍ и $A_1B_1$‍‍ соответственно. Затем из той же точки $M$‍‍ опущены перпендикуляры $MA_3$‍,‍ $MB_3$‍,‍ $MC_3$‍‍ на прямые $B_2C_2$‍,‍ $A_2C_2$‍,‍ $A_2B_2$‍‍ (рис. 1), и т. д. Докажите, что в полученной последовательности треугольников $A_1B_1C_1$‍,‍ $A_2B_2C_2$‍,‍ $A_3B_3C_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ треугольник $A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1}$‍‍ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$‍.‍