Задачник «Кванта» / Квант. — 1975. — № 10 / 1975 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—47.

В этом учебном году победители нашего конкурса будут приглашены на областные и республиканские олимпиады.

Открыть в номере

Задачи М346‍—‍М350; Ф358‍—‍Ф362 Задачи М346—М350; Ф358—Ф362 // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—39.

Задача М346
Точка $K$‍‍ — середина стороны $AB$‍‍ квадрата $ABCD$‍,‍ а точка $L$‍‍ делит диагональ $AC$‍‍ в отношении $3:1$‍‍ (рис. 1). Докажите, что угол $KLD$‍‍ — прямой.
Задача М347
Двое играют в такую игру. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить…
Задача М348
В таблицу $10\times10$‍‍ записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбце ровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что в получившейся таблице сумма всех чисел равна нулю.
Задача М349
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
1. высот,
2. медиан,
3. биссектрис данного треугольника,
был подобен данному?
Задача М350
С белого углового поля шахматной доски размерами $n\times m$‍‍ ($n$‍‍ и $m$‍‍ больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом (рис. 2). Попав в угол, он останавливается.
1. При каких…
Задача Ф358
Текст задачи готовится
Задача Ф359
Текст задачи готовится
Задача Ф360
Текст задачи готовится
Задача Ф361
Текст задачи готовится
Задача Ф362
Текст задачи готовится

Решения задач М308‍—‍М315; Ф318‍—‍Ф321 Решения задач М308—М315; Ф318—Ф321 // Квант. — 1975. — № 10. — С. 40—47.

Задача М308
Если при любом $x$‍‍ $$ a_1\cos x+a_2\cos2x+\ldots+a_n\cos nx\ge-1, $$ то для чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ выполнено неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n. $$

Докажите это утверждение
1. для $n=2$‍;‍
2. для…
Задача М309
1. При каких $n$‍‍ многочлен $x^{2n}+x^n+1$‍‍ делится на $x^2+x+1$‍?‍
2. При каких $n$‍‍ число $1\underbrace{0\ldots0}_n1\underbrace{0\ldots0}_n1$‍‍ делится на 37?
Задача М310
Докажите, что среди $n$‍‍-значных чисел найдётся более $8^n$‍‍ таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности никакая цифра) не встречается два раза подряд.
Задача Ф318
При каком $C_1$‍‍ ёмкость системы конденсаторов, показанной на рисунке 3, равна:
1. $C$‍;‍
2. $kC$‍‍ ($k \ne 1$‍);‍
3. $C_1$‍?‍
Задача Ф319
На расстоянии $2F$‍‍ от собирающей линзы $\text{Л}_1$‍‍ с фокусным расстоянием $F$‍‍ находится светящийся предмет. Освещённость чёткого изображения предмета на экране при этом равна $E_0$‍.‍ Между экраном и линзой $\text{Л}_1$‍‍ поместили рассеивающую…
Задача Ф320
Текст задачи готовится
Задача Ф321
Текст задачи готовится
Задача М311
Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: сначала бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и т. д. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков…
Задача М312
В параллелограмм $P_1$‍‍ вписан параллелограмм $P_2$‍,‍ в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$‍,‍ причём стороны $P_3$‍‍ параллельны сторонам $P_1$‍.‍ Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$‍‍ по длине…
Задача М313
Дан угол с вершиной $O$‍.‍ Рассмотрим множество четвёртых вершин $M$‍‍ параллелограммов $ONML$‍,‍ вершины $N$‍‍ и $L$‍‍ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величине. (Это множество называется…
Задача М314
Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найти такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр:
1. наименьшая;
2. наибольшая.
Каков будет ответ для $n$‍‍-значных…
Задача М315
На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—47.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1975
Номер: 10
Страницы: 38—47
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38‍—‍47.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1975/10/zadachnik_kvanta-f09ae909/
Полный текст: опубликован 07.02.2026

Задачник «Кванта» (1975, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38‍—‍47.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—47.

Задачи М346‍—‍М350; Ф358‍—‍Ф362 Задачи М346—М350; Ф358—Ф362 // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—39.

Решения задач М308‍—‍М315; Ф318‍—‍Ф321 Решения задач М308—М315; Ф318—Ф321 // Квант. — 1975. — № 10. — С. 40—47.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1975. — № 10. — С. 38—47.