Дан угол с вершиной $O$. Рассмотрим множество четвёртых вершин $M$ параллелограммов $ONML$, вершины $N$ и $L$ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величине. (Это множество называется гиперболой.) Докажите, что на биссектрисе этого угла и на её продолжении найдутся такие точки $F_1$ и $F_2$ (где $|F_1O| = |F_2O|$), для которых разность расстояний $||F_1M| - |F_2M||$ не зависит от точки $M$.
Пусть $2\alpha$ — заданный угол, $A$ — вершина гиперболы (точка её пересечения с биссектрисой), $A'$ — симметричная ей точка относительно $O$, $KMQ$ — перпендикуляр к этой биссектрисе, проходящий через $M$ ($K$ лежит на биссектрисе, $Q$ — на стороне угла, см. рис. 3).
Введём обозначения: $r_1=|F_1M|$, $r_2=|F_2M|$, $a=|OA|=|OA'|$, $x=|ON|$, $y=|OL|$, $r=|OM|$, $\varphi=\widehat{AOM}$, наконец, $c$ — искомое расстояние точек $F_1$ и $F_2$ от вершины $O$ угла (центра гиперболы). (Для знающих аналитическую геометрию: $x$ и $y$ — косоугольные координаты точки $M$, а $r$ и $\varphi$ — её полярные координаты.)
Рис. 3
По условию задачи, синий и жёлтый параллелограммы должны иметь одинаковую площадь:
$$
k=xy\sin2\alpha=\left(\dfrac a{2\cos\alpha}\right)^2\sin2\alpha,
$$
откуда
$$
xy=\dfrac{a^2}{4\cos^2\alpha}.\tag1
$$
Нужно найти такое положение $F_1$ и $F_2$ (т. е. такое значение $c$), чтобы разность $r_2-r_1$ была одной и той же для всех точек $M$ гиперболы. В частности, для её вершины $A$ эта разность $||F_1A|-|F_2A||$, вследствие симметрии ($|F_2A|=|F_1A'|$), равна $|A'A|=2a$ (ось гиперболы). Значит, эта разность должна быть равна
$$
r_2-r_1=2a.\tag2
$$
Найдём выражения $r_1$ и $r_2$ через постоянные $a$, $c$ и $\alpha$ (в эти выражения войдут, конечно, и какие-то переменные величины). Применяя теорему косинусов для треугольников $F_1MO$, $F_2MO$ и $OMN$, имеем:
$$
r_{1,2}^2=c^2+r^2\pm2cr\cos\varphi\tag3
$$
(верхний знак для $r_1$, нижний — для $r_2$) и $$
r^2=x^2+y^2+2xy\cos2\alpha.\tag4
$$
Угол $\varphi$ можно из формулы (3) сразу исключить: из чертежа видно, что $$
r\cos\varphi=|OK|=|OQ|\cos\alpha=(|OL|+|LQ|)\cos\alpha=(|OL|+|LM|)\cos\alpha=(x+y)\cos\alpha;
$$
следовательно,
$$
r_{1,2}^2=c^2+r^2\pm2c(x+y)\cos\alpha.\tag{3′}
$$
Подставляя (4) в (3′) и используя условие (1) и тождества
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ и $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$, получаем:
$$
\begin{gather*}
r_{1,2}^2=c^2+(x+y)^2-2xy+2xy\cos 2\alpha\pm2c(x+y)\cos\alpha=\\
=c^2+(x+y)^2--\dfrac{a^2}{2\cos^2\alpha}+\dfrac{a^2}{2\cos^2\alpha}(2\cos^2\alpha-1)\pm2c(x+y)\cos\alpha=\\
=\left[c^2-\dfrac{a^2}{\cos^2\alpha}\right]+[(x+y)^2+a^2\pm2c(x+y)\cos\alpha].\tag5
\end{gather*}
$$
До сих пор $c$ было произвольным. Подберём его теперь так, чтобы формула (5) приобрела возможно более простой вид. Положим $c=\dfrac a{\cos\alpha}$ (тогда $|OF_2|=|OB|$, см. рисунок).
Тогда формула (5) принимает следующий вид:
$$
r_{1,2}^2=(x+y)^2+a^2\pm2(x+y)a=[(x+y)\pm a]^2.
$$
Из рисунка ясно, что $x+y\gt a$ ($|OQ|\gt|OA|$); следовательно,
$$
r_1=(x+y)+a,\quad r_2=(x+y)-a.
$$
Отсюда получается $r_1-r_2=2a$. Интересно заметить, что $r_1+r_2=2(x+y)$, т. е. сумма расстояний любой точки гиперболы до её фокусов равна периметру параллелограмма, лежащего в определении гиперболы.
