Задачник «Кванта» / Квант. — 1972. — № 8 / 1972 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—73.

В этом номере мы помещаем задачи, предлагавшиеся на заключительных турах Всесоюзной математической и физической олимпиад, проходивших в апреле этого года.

Открыть в номере

Задачи М156‍—‍М160; Ф168‍—‍Ф172 Задачи М156—М160; Ф168—Ф172 // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—57.

Задача М156
В прямоугольнике $ABCD$‍‍ точка $M$‍‍ — середина стороны $AD$‍,‍ $N$‍‍ — середина стороны $BC$‍.‍ На продолжении отрезка $DC$‍‍ за точку $D$‍‍ берётся точка $P$‍.‍ Обозначим точку пересечения прямых…
Задача М157
Сумма $n$‍‍ положительных чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ равна 1. Пусть $S$‍‍ — наибольшее из чисел $$\frac{x_1}{1+x_1},~\frac{x_2}{1+x_1+x_2},~\ldots,~\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}.$$ Найти наименьшее возможное значение $S$‍.‍ При каких значениях $x_1$‍,‍…
Задача М158
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней строке написано натуральное число $a \gt 1$‍,‍ а далее под каждым числом $k$‍‍ слева пишется $k^2$‍,‍ а справа — число $k+1$‍.‍ Например, при $a=2$‍‍ получается…
Задача М159
Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клеточной бумаги размером $100 \times 100$‍‍ таким образом, чтобы в каждом прямоугольникe $3 \times 4$‍,‍ стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Задача М160
Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Доказать, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья…
Задача Ф168
Текст задачи готовится
Задача Ф169
Текст задачи готовится
Задача Ф170
В однородной плазме с плотностью (числом зарядов каждого знака в единице объёма — в $1~\text{см}^3$‍)‍ $n$‍‍ все электроны, первоначально находившиеся в слое толщиной $x$‍,‍ смещаются по нормали к этому слою на расстояние $x$‍.‍ Найти электрическое поле…
Задача Ф171
На гладкий горизонтальный стол поставили вертикально гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя одинаковыми маленькими шариками на концах (рис. 3). Верхнему шарику ударом сообщают скорость $\overrightarrow{v}$‍‍ в горизонтальном направлении. При какой максимальной длине гантельки…
Задача Ф172
Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух лёгких проводах в вертикальном магнитном поле с индукцией $E = 1~\text{Тл}$‍‍ (см. рис. 4). Длина стержня $l = 0{,}2~\text{м}$‍,‍ масса $m = 10~\text{г}$‍,‍ длина проводов $l_1 = 0{,}1~\text{м}$‍.‍ К точкам закрепления проводов подключают конденсатор…

Решения задач М110‍—‍М122; Ф131‍—‍Ф137 Решения задач М110—М122; Ф131—Ф137 // Квант. — 1972. — № 8. — С. 58—73.

Задача М110
На бесконечном листе клетчатой бумаги $N$‍‍ клеток выкрашено в черный цвет. Докажите, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия:

1) все чёрные клетки будут лежать в вырезанных квадратах;

2) в любом вырезанном…
Задача М111
В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно $0{,}001$‍.‍ Докажите, что площадь этой фигуры не превышает $0{,}34$‍.‍ (Можно считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит из отрезков прямых и дуг…
Задача М112
В таблице $m\times n$‍‍ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Доказать, что…
Задача М113
Доказать, что для любого натурального $n$‍‍ найдётся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$‍.‍
Задача М114
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍‍ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$‍,‍ то числа $b$‍‍ и $c$‍‍ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
Задача М115
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Задача М116
Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$‍‍-угольника $M$‍‍ (рис. 1), то у полученного многоугольника

а) периметр не меньше половины периметра $M$‍‍ ($n\geq3$‍);‍

б) площадь не меньше половины…
Задача М117
Несколько человек в течение $t$‍‍ минут наблюдало за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла…
Задача М118
С четырёх сторон шахматной доски размером $n\times n$‍‍ построена кайма шириной в два поля.

Доказать, что эту кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в том и только в том случае, когда $n-1$‍‍ кратно 4.
Задача М119
Докажите, что если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки вектор, который направлен перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону и длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов будет равна нулю.
Задача М120
В некотором множестве введена операция $*$‍,‍ которая каждым двум элементам $a$‍‍ и $b$‍‍ этого множества ставит в соответствие элемент $a * b$‍‍ из этого множества. Известно, что

1) для любых трёх элементов $a$‍,‍…
Задача Ф131
Текст задачи готовится
Задача Ф132
Текст задачи готовится
Задача М121
Докажите, что для любых $n$‍‍ вещественных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ ..., $a_n$‍‍ найдётся такое натуральное $k \leq n$‍,‍ что каждое из $k$‍‍ чисел $a_k$‍,‍ $\dfrac{a_{k-1}+a_k}{2}$‍,‍ $\dfrac{a_{k-2} + a_{k-1}+a_k}{3}$‍,‍ ..., $\dfrac{a_1 + a_2+\ldots +a_k}{k}$‍‍ не…
Задача М122
Пятиугольник $ABCDE$‍‍ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$‍‍ до прямых $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $CD$‍‍ равны соответственно $p$‍,‍ $q$‍,‍ $r$‍.‍ Найдите расстояние от точки…
Задача Ф133
Текст задачи готовится
Задача Ф134
Текст задачи готовится
Задача Ф135
Текст задачи готовится
Задача Ф136
Текст задачи готовится
Задача Ф137
Инфракрасное излучение определённой длины волны поглощается метаном ($\mathrm{CH}_4$‍).‍ При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения. Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли?

При…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—73.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1972
Номер: 8
Страницы: 56—73
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56‍—‍73.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1972/8/zadachnik_kvanta-6ffc526f/
Полный текст: опубликован 09.03.2026

Задачник «Кванта» (1972, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56‍—‍73.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—73.

Задачи М156‍—‍М160; Ф168‍—‍Ф172 Задачи М156—М160; Ф168—Ф172 // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—57.

Решения задач М110‍—‍М122; Ф131‍—‍Ф137 Решения задач М110—М122; Ф131—Ф137 // Квант. — 1972. — № 8. — С. 58—73.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 8. — С. 56—73.