Задачник «Кванта» / Квант. — 1972. — № 3 / 1972 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М131‍—‍М135; Ф143‍—‍Ф147 Задачи М131—М135; Ф143—Ф147 // Квант. — 1972. — № 3. — С. 38—39.

Задача М131
Докажите, что четыре точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба (рис. 1).
Задача М132
Пусть по окружности выписано $n$‍‍ чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ ..., $x_n$‍,‍ каждое из которых равно $(+1)$‍‍ или $(—1)$‍,‍ причём сумма $n$‍‍ попарных произведений соседних чисел равна $0$‍‍ (как в задаче…
Задача М133
Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль «вольвокс» — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (т. е. клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних) в каждой «вершине» сходятся три клетки (рис. 3).…
Задача М134
Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $AC$‍‍ данного треугольника $ABC$‍?‍
Задача М135
Докажите, что для каждого натурального $n \gt 1$‍‍ верно тождество $$ \sin x \cdot \sin \left(x+\frac{\pi}{n}\right) \cdot \sin \left(x+\frac{2 \pi}{n}\right) \cdot \ldots \cdot \sin \left(x+\frac{(n-1) \pi}{n}\right)= c_n \sin nx, $$ где $c_n$‍‍ — некоторое число (зависящее от $n$‍),‍ и найдите $c_n$‍.‍
Задача Ф143
Текст задачи готовится
Задача Ф144
Текст задачи готовится
Задача Ф145
Текст задачи готовится
Задача Ф146
Текст задачи готовится
Задача Ф147
Текст задачи готовится

Решения задач М89‍—‍М95; Ф100‍—‍Ф107 Решения задач М89—М95; Ф100—Ф107 // Квант. — 1972. — № 3. — С. 40—49.

Задача М89
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать такие три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлюший данный многоугольник. (Например, на рисунке 2, где многоугольник обведён чёрной линией, три красные прямые удовлетворяют…
Задача М90
Докажите, что если $x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt \ldots$‍‍ — натуральные числа, то $$ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3}+ \ldots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} \lt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}. $$
Задача Ф100
Текст задачи готовится
Задача Ф101
Текст задачи готовится
Задача Ф102
Текст задачи готовится
Задача М91
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
Задача М92
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Задача М93
Каждое из чисел $x_1$‍,‍ ..., $x_n$‍‍ равно плюс или минус единице. Известно, что $$ x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0. $$ Докажите, что $n$‍‍ делится на 4.
Задача М94
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.
Задача М95
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$‍‍ и опущен перпендикуляр $OK$‍‍ из точки $O$‍‍ пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам $EF$‍‍ и…
Задача Ф103
Текст задачи готовится
Задача Ф104
Текст задачи готовится
Задача Ф105
Текст задачи готовится
Задача Ф106
Текст задачи готовится
Задача Ф107
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 3. — С. 36—49.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1972
Номер: 3
Страницы: 36—49
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 3. — С. 36‍—‍49.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1972/3/zadachnik_kvanta-a6d9cf4c/
Полный текст: опубликован 09.03.2026

Задачник «Кванта» (1972, № 3)Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 3. — С. 36‍—‍49.‍‍

Изображения страниц

Задачи М131‍—‍М135; Ф143‍—‍Ф147 Задачи М131—М135; Ф143—Ф147 // Квант. — 1972. — № 3. — С. 38—39.

Решения задач М89‍—‍М95; Ф100‍—‍Ф107 Решения задач М89—М95; Ф100—Ф107 // Квант. — 1972. — № 3. — С. 40—49.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 3. — С. 36—49.