Задачник «Кванта» / Квант. — 1970. — № 12 / 1970 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—45.

В этом номере все задачи по математике взяты из брошюры «Математические задачи» (Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толпыго, Математические задачи, издание 3-е, «Наука» (серия «Библиотека физико-математической школы»)), новое, переработанное издание которой скоро выйдет из печати.

Открыть в номере

[Задачи М56‍—‍М60, Ф66‍—‍Ф71] [Задачи М56—М60, Ф66—Ф71] // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—33.

Задача М56
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
Задача М57
а) Найти число $k$‍,‍ которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и $k$‍).‍
б) Доказать, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.
Задача М58
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Задача М59
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, ..., $n$‍‍ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$‍‍ это удастся сделать?
Задача М60
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Задача Ф66
Текст задачи готовится
Задача Ф67
Текст задачи готовится
Задача Ф68
Текст задачи готовится
Задача Ф69
Текст задачи готовится
Задача Ф70
Текст задачи готовится
Задача Ф71
Текст задачи готовится

Решения задач М16‍—‍М20, Ф24‍—‍Ф28 Решения задач М16—М20, Ф24—Ф28 // Квант. — 1970. — № 12. — С. 34—45.

Задача М16
Докажите, что многочлен $p(x)$‍‍ с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значениях $x$‍‍ принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня.
Задача М17
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом в $60\degree$‍,‍ спросил: «Как пройти в село $NN$‍?‍» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни $N$‍‍ — это в восьми верстах отсюда, — там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая…
Задача М18
а) Докажите, что для любой точки $M$‍‍ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$‍,‍ один из трёх отрезков $MA$‍,‍ $MB$‍,‍ $MC$‍‍ равен сумме двух других.
б) Три равные окружности $\gamma_1$‍,‍…
Задача М19
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая…
Задача М20
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая пересекала не более сорока из этих многоугольников? (Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.)
Задача Ф24
Подставку, на которой лежит тело, подвешенное на пружине, начинают опускать с ускорением $a$‍.‍ В начальный момент пружина не растянута. Через какое время тело оторвётся от подставки? До какой максимальной длины растянется пружина? Масса тела $M$‍,‍ жёсткость пружины…
Задача Ф25
Если потенциал анода фотоэлемента выше, чем потенциал катода, то через фотоэлемент идёт ток $I=10~\text{А}$‍‍ (ток насыщения). В противном случае ток через фотоэлемент не идёт. Пренебрегая внутренними сопротивлениями батарей, найти напряжения на фотоэлементах в изображённых на…
Задача Ф26
Две горизонтальные полуплоскости, расположенные на высоте $h$‍‍ одна над другой, плавно переходят друг в друга, как показано на рисунке 2. По верхней полуплоскости под углом $\alpha$‍‍ к направлению на спуск движется со скоростью $v$‍‍ небольшой…
Задача Ф27
В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду (рис. 3). Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Найти массу колокола, если радиус его равен $R$‍,‍ а плотность воды…
Задача Ф28
Две параллельные пластины находятся на расстоянии, малом по сравнению с их размерами. Между пластинами помещают несколько тонких и хорошо проводящих тепло перегородок — экранов. Как это влияет на теплопроводность между пластинами, если:
1. длина свободного…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—45.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1970
Номер: 12
Страницы: 32—45
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32‍—‍45.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1970/12/zadachnik_kvanta-b39393f4/

Задачник «Кванта» (1970, № 12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32‍—‍45.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—45.

[Задачи М56‍—‍М60, Ф66‍—‍Ф71] [Задачи М56—М60, Ф66—Ф71] // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—33.

Решения задач М16‍—‍М20, Ф24‍—‍Ф28 Решения задач М16—М20, Ф24—Ф28 // Квант. — 1970. — № 12. — С. 34—45.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 12. — С. 32—45.