Задачник «Кванта» / Квант. — 1970. — № 11 / 1970 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—43.

В этом номере мы заканчиваем публикацию задач Всесоюзной математической олимпиады (в скобках после задачи указан класс для которого предлагалась задача).

Открыть в номере

[Задачи М51‍—‍М55, Ф61‍—‍Ф65] [Задачи М51—М55, Ф61—Ф65] // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—28.

Задача М51
Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Задача М52
Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Задача М53
В треугольнике $ABC$‍‍ через середину $M$‍‍ стороны $BC$‍‍ и центр $O$‍‍ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$‍,‍ которая пересекает высоту $AH$‍‍ в точке $E$‍.‍ Доказать, что…
Задача М54
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Задача М55
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше $n$‍‍ цифр, разбиты на две группы. В первую группу входят все числа с нечётной суммой цифр, во вторую — с чётной суммой цифр. Доказать, что если $1\le k\lt n$‍,‍ то сумма $k$‍‍-x степеней всех чисел…
Задача Ф61
Текст задачи готовится
Задача Ф62
Текст задачи готовится
Задача Ф63
Текст задачи готовится
Задача Ф64
Текст задачи готовится
Задача Ф65
Пластины плоского конденсатора заряжены до потенциалов $+\phi$‍‍ и $-\phi$‍‍ относительно земли. Ёмкость конденсатора, образованного пластинами, равна $C$‍,‍ а ёмкости конденсаторов, которые образуют каждая из пластин с землёй $-C_1$‍.‍ Во сколько раз…

Решения М11‍—‍М15, Ф18‍—‍Ф23 Решения М11—М15, Ф18—Ф23 // Квант. — 1970. — № 11. — С. 29—43.

Задача М11
На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против, см. рис. 1). Докажите, что чижи никогда не…
Задача М12
Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?
Задача М13
Докажите, что если разность между наибольшим и наименьшим из $n$‍‍ вещественных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ равна $d$‍,‍ а сумма модулей всех $\dfrac{n(n-1)}{2}$‍‍ попарных разностей этих…
Задача М14
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра (рис. 2). Докажите, что если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1. чёрных граней больше…
Задача М15
Квадратная таблица размером $n\times n$‍‍ заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать $n$‍‍ положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном…
Задача Ф18
Если смотреть на свет сквозь две гребёнки с разной частотой зубьев, наложенные друг на друга, то светлые участки будут чередоваться с тёмными. С какой скоростью будут перемещаться эти участки, если одну из гребёнок двигать относительно второй со скоростью 1 см/с? Неподвижная гребёнка имеет…
Задача Ф19
Форма сообщающихся сосудов показана на рисунке 1. Куда потечет вода по трубке, соединяющей сосуды, если нагреть воду в одном из сосудов?
Задача Ф20
Параллельно оси цилиндра радиуса $R$‍‍ на расстоянии $\dfrac R2$‍‍ от его центра просверлено отверстие. Радиус отверстия равен $\dfrac R2$‍.‍ Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рис. 2). Найти предельный угол наклона дощечки, при…
Задача Ф21
Оси якорей двух одинаковых электродвигателей постоянного тока жёстко соединены друг с другом. Если к обмоткам якорей подключены одинаковые источники тока с э. д. с. $\mathscr{E}$‍,‍ то угловая скорость вращения якорей без нагрузки равна $\omega_0$‍;‍ єсли двигатели затормозить…
Задача Ф22
Два кузнеца обрабатывают кусок железа. Сначала его кладут на наковальню и бьют молотком по очереди, потом подвешивают к потолку и бьют одновременно с разных сторон. Сила удара каждого кузнеца одинакова в обоих случаях. В каком случае кусок железа больше нагреется за один удар?
Задача Ф23
На горизонтальной плоскости находятся две одинаковые тонкостенные трубы массы $m$‍‍ каждая. Оси их параллельны, а радиусы равны $R$‍.‍ Вначале одна из труб покоится, а вторая катится без проскальзывания по направлению к первой до столкновения. Скорость поступательного…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—43.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1970
Номер: 11
Страницы: 27—43
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27‍—‍43.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1970/11/zadachnik_kvanta-40b6c3d7/

Задачник «Кванта» (1970, № 11)Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27‍—‍43.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—43.

[Задачи М51‍—‍М55, Ф61‍—‍Ф65] [Задачи М51—М55, Ф61—Ф65] // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—28.

Решения М11‍—‍М15, Ф18‍—‍Ф23 Решения М11—М15, Ф18—Ф23 // Квант. — 1970. — № 11. — С. 29—43.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1970. — № 11. — С. 27—43.