«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Две окружности на плоскости пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что можно выбрать такую точку $C$, что любая окружность с хордой $AC$ будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от…
Дан треугольник $ABC$. Две прямые, симметричные прямой $AC$ относительно прямых $AB$ и $BC$ соответственно, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $BK$ проходит через центр описанной окружности треугольника…
Из точки $P$ проведены две касательные $PB$ и $PC$ к окружности, причём $\angle BPC \gt 90^{\circ}$. На меньшей дуге $BC$ взята точка $A$. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла $BPC$ касательной к…
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Найдите положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, удовлетворяющие системе $n$ уравнений $$ (x_1+x_2+\ldots+x_k)(x_k+x_{k+1}+\ldots+x_n)=1\quad (k=1{,}~2{,}~{\ldots}{,}~n), $$ если
Все точки плоскости $Oxy$ с целыми координатами $(x,y)$ раскрашены в два цвета — синий и красный. Докажите, что найдётся бесконечное одноцветное (синее или красное) множество, симметричное относительно некоторой точки.
Текст задачи готовится
Даны окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всевозможных треугольников $ABC$, касаются фиксированной…
Докажите, что в треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $120^\circ$, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения высот равно $AB+AC$.