Текст статьиПротасов В. Ю., Тихомиров В. М. Куда кривая выведет? // Квант. — 2025. — № 10. — С. 2—13.
Мы начнём с простой олимпиадной задачи, причём не по математике, а по физике. Кривые, о которых в ней идёт речь, приведут нас к задаче Плато о минимальных поверхностях, к оптимальной форме арки в архитектуре и к моделям неевклидовой геометрии. Везде появляется один и тот же приём, сформулированный более трёх веков назад для решения совсем другой задачи.
По какой кривой движется звук?
Много лет назад один из авторов этой статьи писал городскую физическую олимпиаду. Первого места не занял, но сходил не зря: одна задача запомнилась. Она имела номер 2 и рассказывала о звуковом сигнале, распространявшемся в воде, где скорость звука зависела от глубины. Усердно решавшие десятиклассники и не подозревали, какие глубокие (во всех смыслах) связи эта задача имеет. Мы не уверены даже, знал ли об этом сам её автор. От неё — один шаг до знаменитого оптического принципа в теории экстремума, у которого есть масса приложений в других науках. Мы выведем этот принцип и не спеша проследим различные его применения, периодически отвлекаясь на историю и возможные обобщения. Но сначала предъявим саму задачу (формулировку мы немного изменили).
Задача.Известно, что в северных широтах скорость звука в воде при нормальных условиях возрастает с глубиной по формуле $v(h)=1450+0{,}0167h$. Определите, какой максимальной глубины достигает направленный мощный звуковой сигнал, испущенный под углом $15^\circ$ к поверхности воды. Закон преломления звуковых волн полностью аналогичен закону преломления света.
Решение. Разделим толщу воды на много тонких горизонтальных слоёв, внутри каждого слоя скорость будем считать постоянной. Тогда звуковой сигнал будет иметь форму ломаной, её $k$-е звено будет проходить по $k$-му слою и пересекать его под углом $\alpha_k$ (рис. 1). Записав закон преломления на границе слоёв, получим $\dfrac{\sin\alpha_k}{v_k}=\dfrac{\sin\alpha_{k+1}}{v_{k+1}}$, где $v_k$ — скорость в $k$-м слое. В привычной форме закон преломления, или закон Снеллиуса, записывается с помощью синусов углов к нормали, что, конечно, то же самое. Перепишем его в виде $\dfrac{\cos\alpha_{k+1}}{v_{k+1}}=\dfrac{\cos\alpha_k}{v_k}$. Тогда по индукции заключаем, что отношение $\dfrac{\cos\alpha_k}{v_k}$ для всех слоёв одно и то же. На максимальной глубине $h$ имеем $\alpha_N=0$. Получаем уравнение
$\dfrac{\cos\alpha_N}{v_N}=\dfrac{\cos\alpha_1}{v_1}$, в котором $v_1=1450$, $\alpha_1=15^\circ$ и $v_N=1450+0{,}0167h$. Подставив известные величины, находим ответ: $h=3063~\text{м}$.
Рис. 1
Формула, данная в условии, — это несколько упрощённая формула Вильсона. Верна она при низкой температуре и нормальной солёности воды. Расстояние в 3 километра не должно нас смущать. В воде звуки средней интенсивности могут распространяться на 15—20 километров, а мощные сигналы — более чем на 100 км. Сигнал не достигнет дна не потому, что затухнет, а потому, что пойдёт по кривой.
Нас будет интересовать не максимальная глубина, а форма траектории и (что особенно важно!) время её прохождения. Если взять на траектории произвольные точки $A$ и $B$, то дуга между ними будет кривой наименьшего времени, за которое можно добраться от $A$ до $B$ со скоростью $v(h)$, вычисленной по формуле Вильсона. Это мы знаем из оптики: свет (в данном случае — звук) всегда идёт по пути кратчайшего времени, и этот путь соответствует закону преломления. Будем пользоваться этим законом.
Оптический метод
Итак, направленный звуковой сигнал идёт по траектории, обеспечивающей наименьшее время. А что если скорость звука на глубине вычислялась бы не по формуле Вильсона, а по другой формуле? Ответ получится другим, но принцип решения останется тем же. Представив среду в виде объединения тонких слоёв, мы получим, что отношение косинуса угла наклона траектории и скорости звука постоянно на всём пути. Таким образом, это отношение является инвариантом траектории. Подставляя различные формулы для скорости звука, получим решения многих экстремальных задач, уже никак не связанных с оптикой.
Мы перейдём от звуковых лучей к более привычным нам световым и рассмотрим стандартную координатную плоскость. Плоскость сделана из прозрачной среды, коэффициент преломления которой зависит только от расстояния до оси $x$. Таким образом, скорость света в произвольной точке $(x;y)$ равна $v(y)$, эта функция задана. Будем считать её дифференцируемой, т. е. коэффициент преломления меняется постепенно. Предположим, материальная точка хочет добраться из заданной точки $A$ в точку $B$ за наименьшее время, при этом скорость в каждый момент времени равна значению функции $v(y)$. Как мы знаем, она должна двигаться по траектории луча света, и эту траекторию можно описать с помощью инварианта
$\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}=\text{const}$, где $\alpha(x)$ — угол, под которым траектория пересекает горизонтальную прямую в точке $(x;y)$ (рис. 2). Этот угол, конечно, зависит от точки, и правильнее было бы писать $\alpha(x)$. Мы будем предполагать, что траектория является графиком некоторой функции $y=f(x)$. Тогда $\alpha=\alpha(x)$ — угол, который образует с осью $x$ касательная к графику в точке $(x;f(x))$.
Рис. 2
Среди всех функций $f(x)$, график которых соединяет две данные точки плоскости, мы должны найти ту, для которой движение по графику занимает наименьшее время.
Теорема 1.Функция $y=f(x)$, соответствующая минимальному времени движения вдоль графика со скоростью $v(y)$, обладает свойством $\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}=\text{const}$.
Доказательство. Если функция $f$ монотонна, то в каждой точке её графика должен выполняться закон преломления света, что, как мы уже знаем, приводит к указанной формуле. В общем случае разобьём график на интервалы монотонности. Отношение $\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}$ меняется непрерывно и на каждом интервале постоянно, значит, оно постоянно на всём пути. Теорема доказана.
Прежде чем перейти к экстремальным задачам, уточним правила. Это важно! Постоянство отношения косинуса к скорости — только необходимое условие оптимальности, но не достаточное. Мы не будем вычислять все кривые, для которых это условие выполняется, и не будем доказывать оптимальность. Это завело бы нас слишком далеко в вариационное исчисление. Таких кривых может быть несколько, и мы (без доказательства) будем выбирать ту, на которой достигается наименьшее время. Наконец, выведем из рассмотрения тривиальный случай $f(x)=\text{const}$, когда график — горизонтальная прямая. В этом случае $\cos\alpha=1$ и скорость $v(y)$ постоянна, поскольку постоянна ордината $y$. Поэтому свойство инвариантности выполнено. Однако в большинстве задач этот исключительный случай не даёт минимального значения и не рассматривается. Таким образом, мы всегда будем считать, что $f$ не обращается в тождественную константу ни на каком интервале, т. е. кривая не содержит горизонтальных отрезков.
Как обычно делается в анализе, будем говорить, что ненулевое число $a$ «почти равно» числу $b$, если их разность сильно меньше $a$. Так же — для переменных величин $a$, $b$: если они обе стремятся к нулю, то «$a$ почти равно $b$» означает, что отношение $\dfrac{a-b}a$ стремится к нулю.
Правила установлены. Мы начинаем!
Снова о брахистохроне
История о кривой наискоренного спуска подробно описана в статьях и книгах. Многие считают её одним из поворотных пунктов в истории всей математики. Именно с задачи о брахистохроне ведёт отсчёт современное вариационное исчисление. Она продемонстрировала силу математического анализа, который тогда только завоёвывал свои права. «Квант» тоже обращался к этому сюжету [1]. Мы и сейчас не сможем его обойти, поскольку именно тогда Иоганн Бернулли (1667—1748), тот самый, который открыл закон течения несжимаемой жидкости, впервые применил оптический метод. Применил его, что называется, напрямую: в его случае величина $v(y)$ была именно что скоростью, хотя и не света, а материальной точки. Потом мы увидим, что возможны и более высокий уровень абстракции — в задачах, уже никак не связанных с движением.
В июне 1696 года Иоганн Бернулли опубликовал в журнале «Acta Eruditorum» заметку с интригующим названием: «Новая задача, к решению которой приглашаются математики».
Задача Бернулли.В вертикальной плоскости даны точки $A$ и $B$. По какой кривой должна двигаться точка под действием только собственной тяжести, чтобы, начав движение из $A$, достичь $B$ за наименьшее время?
Ещё Галилей понимал, что прямолинейный путь, хоть и является кратчайшим, не даёт решения. Экспериментальным путём он установил, что путь по дуге окружности будет быстрее. Неясно до конца, предполагал ли он, что именно дуга окружности даёт наискоренный спуск. И. Бернулли нашёл кривую наискорейшего спуска и замаскировал ответ под словом «брахистохрона», по-гречески — «кратчайшее время». Задача получила пять решений, все — верные. Одно — авторское, другие пришли от Лейбница, Лопиталя, от собственного брата Якоба Бернулли, а последнее пришедшее письмо было анонимным. В нём, правда, сразу, по безупречному стилю, определили автора — Исаака Ньютона, «как по когтям распознают льва».
Авторское решение Бернулли всем понравилось как наиболее изящное и неожиданное. Он предложил заменить движение точки на распространение луча света в неоднородной среде. При этом коэффициент преломления среды выбирается так, чтобы соответствовать скорости точки на данной высоте. Последняя легко вычисляется из закона сохранения энергии. Бернулли не выписывал явно инвариант $\dfrac{\cos\alpha}v$, а нашёл решение из геометрических соображений. Ответом, скрывавшимся под псевдонимом «брахистохрона», оказалась дуга циклоиды — кривой, которую описывает точка окружности, катящейся без проскальзывания по прямой. При этом данная горизонтальная прямая проходит через точку $A$. Любую точку $B$, расположенную ниже $A$, можно соединить с $A$ аркой такой циклоиды, и притом единственным способом. На рисунке 3 точки $A$ и $B$ лежат почти на одной высоте. Чтобы проехать из $A$ в $B$ по циклоиде, нужно сначала нырнуть в глубокую яму, а потом подняться к точке $B$. Оказывается, этот парадоксальный путь даёт самое короткое время!
Рис. 3
Оптический метод здесь выглядит вполне естественным. Скорость на высоте $y$ вычисляется из закона сохранения энергии $\dfrac{mv^2}2+mgy=\text{const}$. Мы поместили начало координат в точку $A$, поэтому высота $y$ будет отрицательна. Константа равна нулю, поскольку мы стартуем из $A$ с нулевой скоростью. Следовательно, $v(y)=\sqrt{-2gy}$. Теперь применим теорему 1. Раз мы знаем ответ, то просто докажем, что циклоида удовлетворяет условию инвариантности $\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}=\text{const}$.
Решение задачи Бернулли. Окружность радиуса $R$ катится по оси $x$, касаясь её снизу (рис. 4). Произвольная точка $M$ окружности описывает дугу циклоиды от точки $A$ к $B$. Её скорость $v$ в каждый момент времени направлена по касательной к циклоиде. Обозначим через $C$ центр окружности, а через $u$ скорость, с которой он движется (буква $v$ уже занята). Заметим, что скорости $u$ и $v$ не постоянны, в каждой точке циклоиды они свои. Мы знаем только, что $v(y)=\sqrt{-2gy}$. Сейчас мы свяжем эти величины уравнением.
Рис. 4
Движение — без проскальзывания, поэтому точка $M$ движется с той же скоростью и относительно центра $C$, эта скорость направлена по касательной к окружности. По принципу сложения скоростей, итоговая скорость точки $M$ равна сумме этих двух скоростей. Сумму найдём по правилу параллелограмма, который в данном случае является ромбом. Скорость направлена вдоль диагонали ромба $MF$, поэтому $\alpha=\angle DMF-\dfrac12\pi$ — угол между скоростью и осью $x$. Диагональ ромба является его биссектрисой, поэтому $\angle DME=2\alpha$. Наконец, $ME$ — касательная к окружности, поэтому $\angle EMC=90^\circ$. Ордината точки $M$ равна
$$
y=-R\left(1+\sin(90^\circ-2\alpha)\right)=-2R\cos^2\alpha,
$$
откуда
$$
v(y)=\sqrt{-2gy}=2\sqrt{gR}\cos\alpha.
$$
Итак,
$$
\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}=\dfrac1{2\sqrt{gR}}=\text{const},
$$
следовательно, циклоида удовлетворяет условию теоремы 1 и задача решена.
В задаче о брахистохроне ищется наименьшее время. Сейчас мы сделаем ещё один шаг и будем минимизировать другие величины — площадь, потенциальную энергию, расстояния. Удивительным образом оптический метод возникает и там.
Задача Плато
Мы применим оптический метод для минимизации площадей. Это будет сделано за счёт особого выбора функции скорости $v(y)$.
Рассмотрим следующую задачу. В пространстве задано ограниченное множество $V$; требуется обернуть его поверхностью наименьшей площади. Иными словами, среди всех замкнутых поверхностей, содержащих $V$, нужно найти ту, площадь которой минимальна. Будем обозначать эту поверхность через $S$, и тем же символом — её площадь. Условие допускает, что поверхность может быть несвязной, т. е. состоять из нескольких кусков.
Если множество $V$ состоит из конечного числа точек, то его можно покрыть поверхностями сколь угодно малой площади. В этом случае мы будем писать $S=0$. Каждую точку заключаем в шар радиуса $r$ и затем берём сколь угодно малое $r$. Если $V$ — окружность, то снова $S=0$, поскольку окружность можно заключить в тонкий тор. И вообще, если $V$ — непрерывная кривая конечной длины, то $S=0$. С другой стороны, если $V$ — выпуклое множество, то решением задачи Плато будет поверхность самого этого множества, т. е. $S$ — это граница $V$. Попробуйте доказать это сами. Отсюда следует, например, что если $V$ — круг, то минимальная поверхность $S$ состоит из двух кругов, склеенных по граничной окружности.
Исследовавший задачу о минимальных поверхностях бельгийский математик Жозеф Плато (1801—1883) приводил следующую наглядную интерпретацию. Если множество $V$ погрузить в мыльный раствор и вытащить, то мыльная плёнка приобретёт форму поверхности $S$. Объясняется это тем, что плёнка стремится занять положение, при котором её потенциальная энергия минимальна, а это происходит при минимальной площади.
Одной из простых фигур, для которых задача Плато содержательна, является «штангт», состоящая из двух равных кругов и отрезка, соединяющего их центры и перпендикулярного плоскости обоих кругов. Перемычку можно убрать, оставив лишь два круга, ответ от этого не изменится. Интуитивно ясно (доказательство опустим), что поверхность $S$ должна состоять из этих двух кругов и боковой поверхности, которая их соединяет (рис. 5). Эту боковую поверхность минимальной площади (обозначим её через $S'$) и будем искать. Для этого мы выразим площадь поверхности как время движения по некоторой кривой, после чего применим оптический метод.
Описание минимальной поверхности
Из соображений симметрии кажется, что поверхность наименьшей площади должна быть поверхностью вращения. Это действительно так, хотя строгое обоснование чрезвычайно сложно. Итак, поверхность образована вращением графика функции $y=f(x)$ относительно оси $x$. Функция задана на отрезке $[-a;a]$, соединяющем центры кругов, при этом $f(-a)=f(a)=R$ (радиусы кругов). Заменим этот график на ломаную с короткими звеньями и с вершинами на графике. Тогда поверхность, образованная вращением этой ломаной, имеет примерно ту же площадь, что и наша поверхность. Она состоит из узких колец, каждое из которых — боковая поверхность усечённого конуса. Возьмём одно такое кольцо. Оно образуется вращением прямоугольной трапеции $ABCD$ (рис. 6) вокруг её боковой стороны $AB$. Обозначим через $m$ длину её средней линии. Тогда $m\approx f(x)$, где $x$ — середина отрезка $AB$. Обозначим также $CD=r$. Разрежем кольцо вдоль звена $CD$ и развернём на плоскость. Возможны два случая.
Рис. 5Рис. 6Рис. 7
1) Прямая $CD$ параллельна оси $x$. Тогда мы получим прямоугольник со сторонами $r$ и $2\pi m$ (рис. 7). Таким образом, площадь кольца равна $2\pi mr$.
2) Прямая $CD$ не параллельна оси $x$ и пересекает её в некоторой точке $E$. Тогда при развёртке на плоскость получим кольцо кругового сектора с центром $E$ и некоторым углом раствора $\gamma$ (рис. 7). Обозначим через $d$ расстояние от $E$ до середины $CD$. Вычитая площади внешнего и внутреннего круговых секторов, получаем
$$
\dfrac\gamma2\left(d+\dfrac r2\right)^2-\dfrac\gamma2\left(d-\dfrac r2\right)^2=\gamma dr.
$$
Заметим, что $\gamma d$ — это длина дуги окружности с центром $E$ и радиусом $d$. Эта дуга получена (в результате развёртки кольца) из окружности вращения середины отрезка $CD$ относительно оси $x$. Длина этой окружности равна $2\pi m$, поэтому $\gamma d=2\pi m$. Итак, и в этом случае площадь кольца равна $2\pi mr$.
Мы видим, что площадь одного кольца в обоих случаях равна $2\pi mr$. Теперь сделаем главный шаг: найдём скорость $v$, при которой время прохождения отрезка $CD$ численно равно площади кольца. Это просто: площадь равна $2\pi mr$, а время равно $\dfrac rv$. Таким образом, $\dfrac rv=2\pi mr$, откуда $v=\dfrac1{2\pi m}$. Итак, точка, двигающаяся со скоростью $v=\dfrac1{2\pi m}$, проходит звено ломаной $CD$ за время, численно равное площади кольца. Поэтому время, необходимое на прохождение всей ломаной, равно сумме площадей колец, что примерно равно $S'$. Скорость на каждом звене ломаной равна
$$
\dfrac1{2\pi m}\approx\dfrac1{2\pi f(x)}=\dfrac1{2\pi y(x)}.
$$
Итак, мы получили главное — функцию скорости $v(y)$. Площадь поверхности вращения графика функции $f(x)$ численно равна времени, которое требуется, чтобы пройти этот график с переменной скоростью $v(y)=\dfrac1{2\pi y}$. Применив теорему 1 и учитывая, что в данном случае $\dfrac{\cos\alpha}{v(y)}=2\pi y\cos\alpha$, мы получаем описание поверхности наименьшей площади.
Теорема 2.Функция $y=f(x)$, порождающая минимальную поверхность вращения, содержащую «штангу», обладает свойством $y\cos\alpha=\text{const}$.
Рис. 8
Иначе говоря, косинус угла $\alpha(x)$ наклона касательной к графику в точке $(x;y)$ к оси $x$ обратно пропорционален $y$. Кривая, обладающая таким свойством, катеноида, задаётся формулой $y=\ch x$, где
$\ch x=\dfrac12\left(e^x+e^{-x}\right)$ — гиперболический косинус. График этой функции (рис. 8) напоминает параболу, поскольку при малых $x$ функция $\ch x$ близка к $1+\dfrac{x^2}2$, но затем она начинает расти значительно быстрее. Если читатель знаком с производными и со свойствами экспоненты $e^x$, он без труда докажет, что катеноида обладает свойством $y\cos\alpha=\text{const}$. Если нет, то просьба поверить нам на слово.
Построение минимальной поверхности
Мало найти формулу для оптимальной кривой, нужно ещё провести эту кривую через заданные точки $(-a;R)$ и $(a;R)$. Катеноиду можно параллельно сдвигать на вектор $(c;b)$ и производить гомотетию с коэффициентом $k$:
$$
f(x)=b+k\ch \left(\dfrac{x-c}k\right).
$$
В нашем случае $c$, $b$ легко находятся из симметрии: $b=c=0$, а вот коэффициент $k$ нужно вычислить. Для этого найдём точку $D$ пересечения графика функции $y=\ch x$ с прямой $y=\dfrac Ra x$. Пусть гомотетия с коэффициентом $k$ переводит точку $D$ в точку $(a;R)$. Тогда искомая катеноида задаётся уравнением $y=k\ch \left(\dfrac xk\right)$. Так мы нашли решение задачи Плато для «штанги».
