«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса $\sqrt\dfrac32$.
$p$ — простое нечётное число. Дано $p-1$ целых чисел, не делящихся на $p$. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, можно получить $p-1$ чисел, сумма которых делится на $p$.
Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел, или не представимых?
Числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ принадлежат отрезку $[a;b]$, где $0\lt a\lt b$. Докажите неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\ldots+\dfrac1{x_n}\right)\le \dfrac{(a+b)^2}{4ab}\,n^2. $$
Докажите, что для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$, выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.