«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Даны различные вещественные числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b$. Оказалось, что уравнение $$ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b $$ имеет три различных вещественных корня $c_1$, $c_2$, $c_3$. Найдите корни…
Дано натуральное число $n$. Попарно различные ненулевые целые числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что число $(x+a_1)(x+a_2)\ldots (x+a_n)$ делится на число $a_1a_2\ldots a_n$ при любом целом $x$. Найдите наибольшее возможное…
По кругу расставлены положительные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2024}$ в указанном порядке по часовой стрелке. Пусть $A_i$ — среднее арифметическое числа $a_i$ и нескольких следующих за ним по часовой стрелке. Докажите, что…
Числа 1, 2, 3, $\ldots$, 127 разбили на две группы. Может ли сумма произведений в этих группах оканчиваться ровно:
Будем говорить, что два различных натуральных числа образуют красивую пару, если их произведение делится на их сумму. Будем называть два различных натуральных числа $a\gt2$, $b\gt2$ связанными, если найдётся последовательность из нескольких натуральных…
Соня загадывает многочлен $P(x)$ степени 2025 с вещественными коэффициентами. Лёня делает три хода. За ход он называет некоторый многочлен $Q$ с вещественными коэффициентами, и в ответ ему сразу же сообщают множество вещественных корней уравнения…