«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Педагог дополнительного образования Президентского ФМЛ № 239 (Санкт-Петербург), член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике, призёр Международной математической олимпиады (2015).
Текст задачи готовится
По высотам остроугольного неравнобедренного треугольника из его вершин одновременно начали ползти три жука с одинаковыми скоростями. В некоторый момент оказалось, что первый и второй жуки находятся на вписанной в треугольник окружности. Докажите, что в этот момент и третий жук тоже находится на…
Назовём набор чисел удачным, если его нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё одно целое число…
На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех чётных выписанных чисел равна квадрату натурального числа, и сумма всех нечётных выписанных чисел равна квадрату натурального числа?
Дано натуральное число $n$. Правильный шестиугольник со стороной $n$ разбит на $6n^2$ правильных треугольничков со стороной 1. Ряд — это множество треугольничков между соседними параллельными отрезками разбиения. Петя поставил в некоторые…
Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем $k$ Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у…
Можно ли 2026 чисел $1+\sqrt{2}$, $1+2\sqrt{2}$, $\ldots$, $1+2026\sqrt{2}$, разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?
На координатной плоскости вершины выпуклого четырёхугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны, то они равны между собой.