Егоров А. А. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

: Сотрудник журнала «Квант» с момента основания, многие годы руководил математическим отделом редакции, входил в редколлегию журнала. Преподаватель ФМШ № 18 (СУНЦ) МГУ с 1963 года.

Задачи по математике‍‍

Задача М252
1. На плоскости лежит правильный восьмиугольник со стороной $a$‍.‍ Его разрешается «перекатывать» по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любой точки $M$‍‍ плоскости и любого…
Задача М254
Вычислите значение $\sqrt{0{,}\smash{\underbrace{11111\ldots11111}_{100}}}\vphantom{\underbrace0_0}$‍‍ с точностью
1. 100 знаков после запятой;
2. 101 знака после запятой;
3. 200 знаков после запятой.
Задача М341
В чемпионате мира участвуют 20 команд. Среди них $k$‍‍ европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачёт чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг. При каком наибольшем $k$‍‍ может оказаться, что европейская команда,…
Задача М498
Для каждого натурального $n\ge3$‍‍ укажите наименьшее $k$‍‍ такое, что любые $n$‍‍ точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить $k$‍‍ прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих…
Задача М556
Обязательно ли конгруэнтны два остроугольных равнобедренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?
Задача М567
Натуральные числа $p$‍‍ и $q$‍‍ взаимно просты. Отрезок $[0;1]$‍‍ разбит на $p+q$‍‍ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из $p+q-2$‍‍ чисел $$ \dfrac1p,\quad\dfrac2p,\quad\ldots,\quad\dfrac{p-1}p,\quad \dfrac1q,\quad\dfrac2q,\quad\ldots,\quad\dfrac{q-1}q. $$
Задача М568
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что
1. если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$‍,‍ $BOC$‍,‍ $COD$‍‍ и $DOA$‍,‍ равны между…
Задача М609
1. Длины проекций выпуклого многоугольника площади $S$‍‍ на две взаимно перпендикулярные прямые равны $l_1$‍‍ и $l_2$‍.‍ Докажите, что $S \le l_1l_2$‍.‍
2. Длины проекций выпуклого многогранника объёма $V$‍‍ на…
Задача М673
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍.‍ Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
1. Покажите, как после…
Задача М677
Внутри остроугольного треугольника $ABC$‍‍ выбрана точка $M$‍,‍ являющаяся
1. точкой пересечения медиан;
2. точкой пересечения биссектрис;
3. точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиусы…
Задача М682
Внутри треугольника $\triangle$‍‍ нужно расположить треугольник $\triangle_1$‍‍ так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$‍,‍ две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$‍‍ (рис. 1).
Задача М721
Каждая сторона треугольника поделена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна $S$‍.‍
Задача М727
Докажите неравенство $$ a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2, $$ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — длины сторон треугольника периметра 2.
Задача М732
Текст задачи готовится
Задача М734
Биссектриса угла $A$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$‍.‍ Докажите, что длина проекции отрезка $AK$‍‍ на прямую $AB$‍‍ (или $AC$‍)‍ равна полусумме длин сторон $AB$‍‍ и…
Задача М739
Текст задачи готовится
Задача М749
1. Докажите, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍‍ — положительные числа, то $$ \dfrac{x_1}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\dfrac{x_3}{x_1+x_2}\ge\dfrac32; $$ при каком условии это неравенство превращается в равенство?
2. Докажите, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍…
Задача М761
Через произвольную точку $P$‍‍ на стороне $AC$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ параллельно его медианам $AK$‍‍ и $CL$‍‍ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$‍‍ и $AB$‍‍ в точках $E$‍‍ и…
Задача М1000
В дугу $AB$‍‍ вписана ломаная $AMB$‍‍ из двух отрезков ($AM\gt MB$‍).‍ Докажите, что основание перпендикуляра $KH$‍,‍ опущенного из середины $K$‍‍ дуги $AB$‍‍ на отрезок $AM$‍,‍ делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$‍‍…
Задача М1396
Текст задачи готовится
Задача М1422
Текст задачи готовится
Задача М1586
Текст задачи готовится
Задача М1587
Текст задачи готовится
Задача М1592
Можно ли представить число $1997^{1997}$‍‍ в виде суммы кубов нескольких идущих подряд целых чисел?
Задача М1643
Текст задачи готовится
Задача М2090
Текст задачи готовится
Задача М2480
Текст задачи готовится

Егоров А. А.‍27

Задачи по математике‍‍