Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0;1]$ разбит на $p+q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из $p+q-2$ чисел $$
\dfrac1p,\quad\dfrac2p,\quad\ldots,\quad\dfrac{p-1}p,\quad
\dfrac1q,\quad\dfrac2q,\quad\ldots,\quad\dfrac{q-1}q.
$$