«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Для каждого натурального $n\ge3$ укажите наименьшее $k$ такое, что любые $n$ точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить $k$ прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих…
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$, $B$, $C$. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$, являющаяся
Докажите, что если радиусы…
Внутри треугольника $\triangle$ нужно расположить треугольник $\triangle_1$ так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$ (рис. 1).
Каждая сторона треугольника поделена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна $S$.
Докажите неравенство $$ a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2, $$ где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
В дугу $AB$ вписана ломаная $AMB$ из двух отрезков ($AM\gt MB$). Докажите, что основание перпендикуляра $KH$, опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$, делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$…