«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В квадрате $ABCD$ на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что $BE=BF$. Пусть $L$ — середина $EF$, $N$ — середина $DF$,…
Про положительные числа $a$, $b$, $c$ известно, что из отрезков длиной $a^{2024}$, $b^{2024}$, $c^{2024}$, можно составить треугольник. Докажите, что можно уменьшить одно из чисел $a$, $b$,…
На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех чётных выписанных чисел равна квадрату натурального числа, и сумма всех нечётных выписанных чисел равна квадрату натурального числа?
Пусть $A'$, $B'$, $C'$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно в правильном треугольнике $ABC$ (рис. 1). На продолжении отрезка $A'B'$ за $B'$ взята точка…
Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг неё собрались котята. Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят (на свой выбор), причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка…
В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество $K$, что любые два разных куба из $K$ не имеют параллельных рёбер.
На доске нарисована окружность и на ней отмечены $2n$ точек, делящие её на $2n$ равных дуг. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает натуральное число $d\le n$ и объявляет это число Васе. После этого для победы Васе нужно покрасить все отмеченные…
У натурального числа $n\gt1$ все простые делители меньше 100. Докажите, что найдётся делитель числа $n$, лежащий на отрезке $\left[\dfrac1{10}\sqrt n;\sqrt n\right]$.
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается окружности девяти точек в точке $F$ (точке Фейербаха). Докажите, что
Соня загадывает многочлен $P(x)$ степени 2025 с вещественными коэффициентами. Лёня делает три хода. За ход он называет некоторый многочлен $Q$ с вещественными коэффициентами, и в ответ ему сразу же сообщают множество вещественных корней уравнения…