«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны $a$ и $b$ ($a \lt b$), угол между диагоналями равен $90^{\circ}$, а угол между продолжениями боковых сторон — $45^{\circ}$.
Докажите тождество $$\dfrac{C^0_n}{x} - \dfrac{C^1_n}{x + 1} + ... + (-1)^n\dfrac{C^n_n}{x + n} = \dfrac{n!}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}.$$
На кафтане площадью 1 помещается 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше $\dfrac{1}{2}$. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше $\dfrac{1}{5}$.
Найдите все решения уравнения $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 $$ в целых числах, отличных от 1.
На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Найдите геометрическое место третьих вершин $C$ треугольника $ABC$, у которого:
Между некоторыми из $2n$ городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан не менее чем с $n$ другими (беспосадочными рейсами). Докажите, что даже если отменить любые $n-1$ рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой…
Три отрезка $AB$, $EF$ и $CD$ проходят через одну точку $O$, причём точка $E$ лежит на отрезке $AC$, а точка $F$ — на отрезке $BD$. Докажите, что $EF$ меньше хотя бы…
На плоскости даны две прямые $a$ и $b$. В точке $A_1$, находящейся на прямой $a$ на расстоянии меньше 1 от прямой $b$, сидит блоха. Затем блоха последовательно прыгает в точки $B_1$, $A_2$,…
На плоскости даны две точки $A$ и $B$ и прямая $l$, проходящая через точку $A$ и не проходящая через точку $B$. Через точки $A$ и $B$ проводится произвольная окружность. Пусть…
Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее $m$, обладающее таким свойством: какие бы $m$ из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся $1000-m$ чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.