«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника. Докажите, что
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
Можно ли расставить числа 1, 2, 3, $\ldots$, $4n+2$ в вершинах и серединах сторон правильного $(2n+1)$-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?
Рассмотрите в качестве примеров случаи…
Дано 20 чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{10}$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$, $a_1+b_2$, $\ldots$,…
Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Докажите, что сумма 45 чисел $$ \tg 1\deg + \tg 5\deg+\tg 9\deg+ \ldots +\tg 173\deg+\tg 177\deg $$ равна 45.
Вычислите значение $\sqrt{0{,}\smash{\underbrace{11111\ldots11111}_{100}}}\vphantom{\underbrace0_0}$ с точностью
Найти сумму $$ \phi(0)+\phi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\phi\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+\phi(1), $$ если $\phi(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$.