а) Нужное представление нетрудно найти в явном виде:
$$
x^2=\frac13(x+1)^3-\frac13(x^3+3x+1).
$$
б) Доказательство проведём индукцией по степени многочлена. Для многочленов нулевой степени (постоянных функций) утверждение задачи очевидно. Пусть оно справедливо для всех многочленов степени меньше $n$. Произвольный многочлен $n$-й степени $P_n(x)$ можно записать в виде
$$
P_n(x)=ax^n+P_{n-1}(x),
$$
где $P_{n-1}(x)$ — многочлен степени не выше $n-1$, для которого наше утверждение верно по предположению индукции. Поэтому его достаточно доказать для одночлена $ax^n$ (если утверждение задачи верно для двух многочленов, то оно, очевидно, верно и для их суммы). Ясно, что $ax^n$ — монотонная функция при нечётном $n$; при чётном $n$ существование нужного представления следует из формулы
$$
(n+1)x^n=(x+1)^{n+1}-x^{n+1}-Q_{n-1}(x),
$$
в которой $(x+1)^{n+1}$ и $x^{n+1}$ — возрастающие функции ($n+1$ нечётно), а для многочлена $Q_{n-1}(x)$ степени $n-1$ утверждение задачи выполняется по предположению индукции.
При чётном $n=2k$ можно рассуждать и иначе. По предположению индукции $x^k=P(x)-Q(x)$, где $P$ и $Q$ — монотонно возрастающие многочлены; следовательно,
$$
x^{2k}=2(P(x))^2+2(Q(x))^2-(P(x)+Q(x))^2.
$$
Подставляя в формулу пункта а) $P(x)$ вместо $x$, мы получим представление $(P(x))^2$ в виде разности двух возрастающих многочленов. То же самое можно проделать с $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$, что в конечном счёте даст нужное представление для $x^{2k}$.
