Вайнтроб Аркадий Юльевич / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М570
Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что квадратами этого набора всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Задача М583
Рассматриваются наборы камней, масса каждого из которых не больше $2~\text{кг}$‍,‍ а общая масса набора — $50~\text{кг}$‍.‍ Из такого набора выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от $10~\text{кг}$‍‍ на наименьшее возможное для данного набора число…
Задача М599
1. Сколькими нулями оканчивается число $$ 4^{5^6}+6^{5^4}? $$
2. Укажите наибольшую степень числа 1979, на которую делится число $$ 1978^{1979^{1980}}+1980^{1979^{1978}}. $$
Задача М618
1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$‍‍ таких, что $n!$‍‍ делится на $n^2+1$‍.‍
2. Докажите, что для любого $\alpha \gt 0$‍‍ существует бесконечно много натуральных $n$‍‍ таких, что…
Задача М703
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=5\left(z+\dfrac{1}{z}\right),\\ xy+yz+zx=1. \end{array}\right.$$
Задача М906
1. Докажите, что при любом натуральном $a$‍‍ уравнение $$ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1a $$ имеет по крайней мере три решения в натуральных числах $x$‍‍ и $y$‍.‍
2. Найдите число натуральных решений этого уравнения при…
Задача М912
Докажите, что
1. многочлен $x^2$‍,‍
2. любой многочлен
можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.

Аркадий Юльевич Вайнтроб‍7

Задачи по математике‍‍